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第 4 章 平面问题的基本理论 教学提示作为平面问题的解，既要满足从静力学、几何学、物理学三方面建立起来 的 8 个基本方程，又要满足弹性体全部边界条件。弹性力学问题的求解是在给定的边界条 件下求解基本方程。弹性力学的实际问题给定相应的边界条件即应力边界、位移边界和混 合边界的个数和控制方程的个数应与所求解的弹性力学问题的应力应变或位移分量相 等，才能得出正确的解答。按应力求解常体力情况下的两类平面问题可采用应力函数法， 应力函数必须满足双调和方程。 对于构件表面的外边或者位移是难以按一定的规律分布时， 可按照圣维南原理给定相应的边界条件。 教学要求本章让学生了解平面问题一点的应力状态的概念和两类平面问题。熟悉平 面问题基本方程的建立过程，能够正确写出边界条件，重点掌握正确应用圣维南原理来求 解弹性力学的平面问题以及应力函数法求解平面问题。 4.1 平面问题中一点的应力状态 前面的空间问题中，已经导出了过空间一点 P 的任一斜截面的应力计算公式，介绍了 主应力及最大最小剪应力计算方法，同样，平面问题无论是从理论还是从强度分析的角度 考虑， 也需要知道过一点 P 且平行z轴的任意斜截面上的应力分量极其转轴后的应力分量， 以及主应力和主应力方向等。这些就是本节将要研究的内容。 4.1.1 任意斜截面上的应力 在平面问题中，若已知物体内任一点 P 处的应力分量 x σ， y σ和 xy τ，则可求得过该点 的且平行于z轴而倾斜于x轴和 y 轴的任意斜截面上的应力。为此，在点 P 附近取一平行 于上述斜截面的 AB 截面。围绕它与垂直于x轴和 y 轴的两个截面PB 和 PA截取一无限小 的三角板或三棱柱 PAB，如图 4.1 所示，当斜面 AB 趋近于点 P 时，该斜面上的应力即为 所求斜截面上的应力。 若用N表示斜截面AB的外法线方向与x轴的夹角为α，则其方向余弦为 cos, coslN xα， cos, sinmN yα a N X和 N Y分别代表AB截面上的总应力向量在x轴和y轴方向上的分量。 根据三角形单元体 PAB的平衡条件0 x F ∑ ，0 y F ∑ 可得 Nxyx Xlmστ Nyxy Ymlστ 4-1 第 4 章 平面问题的基本理论 67 67 图 4.1 由于与分析平面体强度问题直接有关的是截面法线方向及切线方向的应力分量，因 此，现将N方向按右手法则旋转 90作为斜截面正的切线方向τ方向，则要计算斜截 面上的总应力向量在N、β方向上的分量，则只要将 N X、 N Y分别向N、β上投影即可。 于是有 11 22 cossin sincos NNNNN NNNNN XYl XmY XYl Xm Y σαα ταα ⎧ ⎨ − ⎩ 4-2 式中， 1 l， 1 m和 2 l， 2 m分别为N和β的方向余弦，即 12 12 cos ,sin sin,cos ll mm αα αα −⎧ ⎨ ⎩ b 将式4-1代入式4-2，用 1 l， 1 m代替l，m，并考虑到式b，则得 22 22 cos2sincossin sincoscossinsincos Nxxyy Nxxyy σσαταασα τσααταασαα ⎧ ⎪ ⎨ −− ⎪⎩ 4-3 或 22 1111 1 2122112 2 Nxxyy Nxxyy ll mm l ll ml mm m σστσ τστσ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ 4-3a 利用三角关系式 22 22 1cos21cos2 cos,sin 22 1 sincossin2 ,cossincos2 2 αα αα αααααα −⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ − ⎪⎩ 式4-3又写为 x σ B A p N Y N N X xy τ yx τ y σ α τ xO y 弹性力学 68 68 cos2sin2 22 sin2cos2 2 xyxy Nxy xy Nxy σσσσ σατα σσ τατα −⎧ ⎪ ⎪ ⎨ − ⎪ − ⎪ ⎩ 4-4 式4-3或4-4即为任意斜截面上的正应力和剪应力公式。如果已知单元体两个互相垂 直截面上的应力分量，便可求得任意斜截面上的正应力和剪应力。 4.1.2 应力分量的转轴公式 下面将导出应力分量在坐标变换时的转换关系。如图4.2所示，设在平行于原坐标系 xOy坐标轴的各面上应力分量分别为 x σ， y σ和 xy τ；在平行于新坐标系坐标轴的各面上， 应力分量分别为 x σ， y σ和 xy τ，可以认为坐标系xOy是由xOy按右手法则旋转α角而得 到的，新旧坐标轴间夹角的余弦值可用α的三角函数表示，见表4-1。 表 4-1 若在图4.2中， 置N方向为x′，τ方向为y′， 则可直接应用式4-3求得 x σ ′，x y τ ′ ′。 而y σ 是作用在垂直于y轴的截面上，它的法线方向余弦为 2 l、 2 m。所以 y σ可将式4-3a第一式 中 1 l， 1 m换为 2 l， 2 m求得。综合上述三式，有 图 4.2 旧坐标 新坐标 x y x 1cos lα 1sin mα y 2 sin lα− 2cos mα yx τ x′ x σ τ N y σ xy τ y′ σ x′ xy′′ τ yx′′ τ x′ σ y′ x y y′ A P B D C α O 第 4 章 平面问题的基本理论 69 69 22 1111 22 2222 1 2121221 2 2 xxyxy yxyxy x yxyxy lml m lml m l lm ml ml m σσστ σσστ τσστ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ 4-5 或 cos2sin2 22 cos2sin2 22 sin2cos2 2 xyxy xxy xyxy yxy xy xyxy σσσσ σατα σσσσ σατα σσ τατα −⎧ ⎪ ⎪ −⎪ −− ⎨ ⎪ −⎪ − ⎪ ⎩ 4-6 式4-5或4-6即为应力分量的转轴公式。 式4-5表明，只要某个确定坐标系中的应力分量已知，那么在任何其他坐标系中的应 力分量均可求出。这就证明了绪论中所指出的结论一点的应力状态完全由该点在任何一 个坐标系中的应力分量确定。 由以上分析可知，转轴公式主要应用在由已知旧坐标系通常为笛卡儿坐标系中的应 力分量求其他新坐标系中的应力分量；若求斜截面上的应力，可把斜截面法线和斜面内的 某个方向选作新坐标轴，则利用转轴公式同样能求得斜截面上的正应力和剪应力。 4.1.3 主应力、应力主向和应力状态不变量 由式4-3可知，某点斜截面上的应力分量 N σ， N τ随截面的外法线方向而变化。在此 变化过程中，必有某一角度使与其对应的斜截面上只有正应力σ，而剪应力0τ。我们把 剪应力0τ的平面称为应力主平面，主平面上的正应力称为主应力，主应力的作用方向称 为应力主方向。 若设点P有一个应力主平面存在，由于该面上的剪应力等于零，则该面上的总应力就 等于主应力σ。于是，该面上的总应力在坐标轴上的投影成为 N Xlσ， N Ymσ c 在图4.2中，设截面AB的长度为ds，则PB面及PA面的长度分别为dl s和dm s，垂 直于图平面的尺寸仍然取为一个单位长度，考虑三角形单元体的平衡条件0 x F ∑ ， 0 y F ∑ ，列平衡方程化简可得到下式 xyx lmlστσ， yxy mlmστσ d 由d中两式分别解出 x yx m l σσ τ − ， yx y m l τ σσ − e 令式e中两式相等，便得到关于σ的二次方程为 弹性力学 70 70 22 0 xyxyxy σσσσσ στ−− 解此方程便可求得两个主应力为 2 2 12 , 22 xyxy xy σσσσ σστ −⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 4-7 即为主应力的表达式。此外，由式4-7可得 12xy σσσσ 4-8 为了确定主应力的方向，设 1 σ与x轴的夹角为 1 α，则 111 1 111 sincos90 tan coscos m l αα α αα − 利用式e中的第一式，有 1 1 tan x xy σσ α τ − 4-9 设 2 σ与x轴的夹角为 2 α，则 2 2 tan xy y τ α σσ − 4-10 根据式4-7、4-9、4-10可计算主应力和主应力方向。 令斜面AB上的正应力为 N σ，则由 N X与 N Y的投影可得 NNN lXmYσ 4-11 令斜面AB上的剪应力为 N τ，则由投影可得 NNN lYmXτ− 4-12 应当指出，物体内任一点的主应力不随坐标系的改变而改变。由式4-8可知 xy σσ是 一个常量，用 1 I表示，即 1 I xy σσ 4-13 I1称为平面应力状态第一不变量。 此外，式4-7右端项与坐标方向的选择无关， xy σσ为不变量，因此根号内的项也 必为一不变量，它又可表示为 22 22 22 xyxy xyxyxy σσσσ τσ στ −⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 从而得 2 xyxy σ στ−也是一个不变量，用 2 I表示，即 第 4 章 平面问题的基本理论 71 71 2 2xyxy Iσ στ− 4-14 称为平面应力状态第二不变量。 由式4-7可知，右端项根号内的数值为两个数的平方和，它总是正的，因此方程式的 两个根均为实根，即两个主应力恒为实数。 由式4-9和4-10可知 12 tantan1αα − 4-15 它表示二主应力 1 σ与 2 σ的作用面互相垂直。同时也证明了在任一点P处，一定存在两个 互相垂直的主应力。 将x轴和y轴分别放在 1 σ和 2 σ的方向上，则 0 xy τ， 1x σσ， 2y σσ 4-16 将式4-16代入式4-3a第一式中，且考虑 22 1lm，可进一步证明在两个主应力中， 1 σ为最大正应力， 2 σ则为最小正应力。 4.2 平衡微分方程 和空间问题一样，两种平面问题也要从静力学、几何学、物理学三方面来建立未知量 和已知量之间的联系，即平衡方程、几何方程、物理方程构成的基本方程组及其边界条件 的表达式。现在从平面问题的静力学平衡方面考虑来推导平面平衡微分方程。 从平面应力问题中的薄板或从平面应变问题中的长柱形体，取出一个微小的正平行六 面体，它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy，因为不论哪种平面问题，所要求解的未知 量都与z坐标无关，为了计算简便，单元体在z方向的尺寸取为一个单位长度。所以单元 体可以简化为平面形式，建立在平面直角坐标系中，如图4.3所示。 图 4.3 一般情况下，单元体的应力分量是位置坐标x，y的函数，因此单元体左右和上下的 两对平面的应力是有微小差异的，不完全相同。假设单元体的两个负面的应力分别为 x σ， x O x σ PA X Y BC D d y y y y σ σ ∂ ∂ d yx yx y y τ τ ∂ ∂ d x x x x σ σ ∂ ∂ d xy xy x x τ τ ∂ ∂ y y σ yx τ xy τ 弹性力学 72 72 xy τ， y σ， yx τ。由于x，y坐标的改变，则另两个正面的应力可以表示为 x方向正面 2 2 2 1 dd 2 xx x xx xx σσ σ ∂∂ ∂∂ d x x x x σ σ ∂ ≈ ∂ 2 2 2 1 dd 2 xyxy xy xx xx ττ τ ∂∂ ∂∂ d xy xy x x τ τ ∂ ≈ ∂ y方向正面 2 2 2 1 dd 2 yy y yy yy σσ σ ∂∂ ∂∂ d y y y y σ σ ∂ ≈ ∂ 2 2 2 1 dd 2 yxyx yx yy yy ττ τ ∂∂ ∂∂ d yx yx y y τ τ ∂ ≈ ∂ 因为六面体是微小的，所以它在各个面上所受到的应力可以认为是均匀分布的，同时六 面体所受的体力，也可以认为是均匀分布的，合力作用在它的体积重心D，在坐标轴上的分 量为X，Y。在如图4.3所示的坐标系中对单元体列出坐标轴方向的平衡方程0 x F ∑ ， 0 y F ∑ 得 dd1d1 dd1d1d d10 x xx yx yxyx xyy x yxxX x y y σ σσ τ ττ ∂⎛⎞ − ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ ∂⎛⎞ − ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ a dd1d1 dd1d1d d10 y yy xy xyxy yxx y xyyY x y x σ σσ τ ττ ∂⎛⎞ − ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ ∂⎛⎞ − ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ b 以通过中心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩平衡方程0 D M ∑ 得 dd dd1d1 22 dd dd1d10 22 xy xyxy yx yxyx xx xyy x yy yxx y τ ττ τ ττ ∂⎛⎞ − ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ ∂⎛⎞ − ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ c 由平衡方程a、b化简得平面问题的平衡微分方程 0 0 yx x xyy X xy Y xy τ σ τσ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ 4-17 由式c的简化结果进一步验证了剪应力互等定理 xyyx ττ 第 4 章 平面问题的基本理论 73 73 平面问题的平衡微分方程4-17是通过对平面体内任意一点取单元体， 研究其平衡条件 而得到的，所以适用于所研究的整个领域。两个方程中三个应力分量是相互独立的，要求 解问题还需补充变形的几何条件和物理条件。 4.3 平面问题的几何方程 弹性体在外力和温度等因素作用下，内部各点要产生位置上的变化，这种位置的变化 量应包括两部分，一部分是随着刚体的运动产生的位移量；另一部分是由于形状的改变引 起的变化量。根据连续性假设，对于区域Ω的每一点都应连续变化到区域 1 Ω内的相应点， 并且是一一对应的，即任意点,P x y移动到 111 ,P x y的新位置，位移在xy平面的分量u， v应是x，y的单值连续函数，记为 , , uu x y vv x y ⎧ ⎨ ⎩ 如果位移是常量，说明弹性体仅仅做了刚体的位移。下面我们研究在包含有应变位移 的一般情况下位移与应变的关系。 如图4.4所示，从平面问题的弹性体内任一点P取单元体，在x，y平面的投影为 PACB，变形前棱边PA，PB的长度为dx，dy，单元体变形后的投影为P A C B′ ′ ′ ′，根据点 P的位移u，v，可表示点A的位移向量 AA′ 和点B的位移向量 BB′ 的分量，分别为 d u ux x ∂ ∂ ，d u vx x ∂ ∂ 和d u uy y ∂ ∂ ，d v vy y ∂ ∂ 图 4.4 考虑到小变形假设，忽略y方向的位移引起的微线段PA的长度发生的变化，根据正 应变的定义，可得线段PA的线应变为 ddd d x u uxxux ux xx ε ∂⎛⎞ −− ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ∂ v u P B P′ A A′ B′ u d u ux x ∂ ∂ d v vx x ∂ ∂ d v y y ∂ ∂ v α β A′ ′ B′ ′ d v y y ∂ ∂ O 弹性力学 74 74 同理得到y方向微线段PB的正应变 ddd d y v vyyvy yv yy ε ⎛⎞∂ −− ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ∂ 其次，研究PA与PB所夹直角的改变，以直角减小时为正，可求剪应变。它由两部分 组成，一是PA向y轴的转角，记为α；二是PB向x轴的转角，记为β。依剪应变定义， 有 xyyx γγαβ，由图4.4，并注意小变形，有tan AA PA αα≈，于是 d 1d v x x u x x α ∂ ∂ ∂⎛⎞ ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ 又因在小变形下，1 u x ∂ ∂ ，所以 v x α ∂ ∂ 同样方法得 u y β ∂ ∂ 所以整个发生的剪应变为 xyyx vu xy γγαβ ∂∂ ∂∂ 上述应变通过整理为 x y xy u x v y vu xy ε ε γ ⎧ ∂ ⎪ ∂ ⎪ ⎪∂ ⎪ ⎨ ∂ ⎪ ⎪ ∂∂ ⎪ ∂∂⎪ ⎩ 4-18 公式4-18称为平面问题的几何方程式，它表示了应变分量和位移分量之间的关系。如 果已经求得了物体的位移，就可以根据式4-18求应变。但是如果已知物体的真实应变，却 不能完全确定位移分量。可以证明当0 xyxy εεγ时，弹性体在xy平面只发生与应变无 关的刚体位移，包括沿x轴和y轴方向的刚体平动位移和绕z轴的转动位移。 4.4 平面问题的物理方程 对于各向同性的线弹性体，表示应变与应力之间关系的广义虎克定律，在第2章中已 经给出，其表达式为 第 4 章 平面问题的基本理论 75 75 1 [] 1 [] 1 [] 111 ,, xxyz yyzx zzxy xyxyyzyzzxzx E E E GGG εσμ σσ εσμ σσ εσμ σσ γτγτγτ ⎧ − ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎨ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4-19 式中的E是拉、压弹性模量，简称弹性模量；G是剪切弹性模量；μ是泊松比，即横向变 形系数。在材料力学中已经证明，这三个弹性常数之间的关系为 21 E G μ 在平面应力问题中，0 z σ，代入虎克定律公式中第1式和第2式中且用弹性常数关 系式代入式4-19的剪应变第4式，得 1 1 21 xxy yyx xyxy E E E εσμσ εσμσ μ γτ ⎧ − ⎪ ⎪ ⎪ − ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4-20 这就是平面应力问题中的物理方程。此外，物理方程式4-19中的第3式成为 zxy E μ εσσ − 上式可以用来求薄板厚度的改变，又由物理方程式4-19中第5式和第6式可见，因为在平 面应力问题中有0 yz τ和0 zx τ，所以有0 yz γ，0 zx γ。 在平面应变问题中，由于物体的所有各点都不沿z方向移动，即0w ，所以z方向的 线段没有伸缩，即0 z ε。于是由广义虎克定律公式4-19中第3式得 zxy σμ σσ 代入4-19中第1式和第2式，并注意第4式仍然适用，得 2 2 1 1 1 1 21 xxy yyx xyxy E E E μμ εσσ μ μμ εσσ μ μ γτ ⎧⎛⎞ − − ⎪⎜⎟ − ⎝⎠ ⎪ ⎪ ⎛⎞−⎪ − ⎨⎜⎟ − ⎝⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4-21 这就是平面应变问题中的物理方程。因为在平面应变问题中存在0 yz τ，0 zx τ，所以也 有0 yz γ，0 zx γ。 从式4-20和4-21可见，两种平面问题的物理方程是不相同的。但如果将平面应力问题 弹性力学 76 76 的物理方程4-20中的E用 2 1 E μ− 替换，μ用 1 μ μ− 替换，就得到平面应变的物理方程4-21。 4.5 应变协调方程 由平面几何方程4-18可以看出，物体内一点的3个应变分量 x ε， y ε， xy γ是由两个位 移分量u，v对坐标求偏导数而求得的。显然，这3个应变分量不是互相独立的，如给出 应变分量需要求出位移，则应积分应变位移的几何方程中任何两个，求出的位移分量将与 第三个几何方程不能协调。这就表示变形以后的物体就不再是连续的。所以要求应变分量 应当满足一定的变形连续性条件或称应变协调相容方程。 考查几何方程4-18，即 x ε u x ∂ ∂ ， y ε v y ∂ ∂ ， xy vu xy γ ∂∂ ∂∂ 将 x ε对y的二阶导数和 y ε对x的二阶导数相加，得 2 23 222 y x u yxx y ε ε ∂ ∂∂ ∂∂∂ ∂ 32 2 vuv y xx yyx ∂∂∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂∂ 等式右边括弧中的表达式就等于 xy γ，于是得 22 2 22 yxy x yxx y εγ ε ∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂ 4-22 这个关系式4-22称为应变协调方程或相容方程。上式表示，在连续性假定下，物体的变形 是满足几何方程的，并由此可以导出相容方程。也可以说，连续体的应变分量 x ε， y ε， xy γ 之间必须满足相容方程， 才能保证对应的位移分量u和v的存在。 反之， 若任意选取函数 x ε， y ε， xy γ是不满足相容方程的应变分量，3个几何方程中的任何两个求出的位移分量，将与 第三个几何方程不能相容，互相矛盾，弹性体这种状态实际上是不存在的，也求不出对应 的位移分量。 【例 4.1】 设有应变分量 2244 01 x aa xyxyε， 2244 01 y bb xyxyε， 22 012 xy cc xy xycγ，其余应变分量均为零。若它们是一种可能的应变状态，试确定 各常数之间的关系。 解 如应变分量为一种可能的应变状态，则需满足应变协调方程。将给定的应变分量带入 应变协调方程式4-22，有 2222 111 211 21221233aybxc cc xc y 比较两边对应项的系数，得 1111 2 312, 22cabc c 故 1 4c ， 211 1 2 cab 第 4 章 平面问题的基本理论 77 77 4.6 边 界 条 件 按照前节介绍的平面问题的基本方程来求解弹性力学问题，它的解答应是满足平面坐 标内任何点的应力、应变和位移的。同时也要满足边界上应力和面力的关系，以及位移与 约束的关系， 这种条件称边界条件。 弹性体边界可能存在三种情况1已知边界面力情况； 2已知边界位移情况；3在边界上给定部分面力情况和部分位移情况。第一种称为应力边 界条件；第二种称为位移边界条件；第三种称为混合边界条件。下面研究怎样表示这几种 边界条件。 4.6.1 应力边界条件 所谓应力边界条件就是在给定面力的边界 e S上应力分量与面力分量之间的关系。实质 上，它是弹性体内部各点的平衡条件在其边界上的延续。因此，应力边界条件就是物体边 界上点的应力的合力与面力的平衡条件。 设平面弹性体在 e S上给定面力X，Y，它们是边界坐标的已知函数；面应力分量 x σ， y σ和 xy τ则是坐标的待求函数。 可由边界上微元体的平衡条件求出。 不失一般性， 如图4.5a 所示，在物体的边界 e S上取一微元体，一般取为三角微元，因为它可以描述任意曲线边界， 如图4.5b所示，它在平面问题中显然是三角板平面应力或三棱柱平面应变。 a b 图 4.5 同样，令微元体边界面外法线N与x，y轴夹角的方向余弦分别为cos, lN x， cos, mN y；斜边长为ds，两直角边长分别为dx和dy，微元体的厚度仍取为1，则由 图4.5b，有 dcos, ddxN ysm s dcos, ddyN xsl s 根据微元体的平衡条件，由平衡方程0 x F ∑ ，有 dd d1d1d110 2 xyx l s m s X sl sm sXστ ⋅ ⋅ −⋅ −⋅ ⋅ 等式两边同除以ds，并略去微量后，得 x y O y σyx τ X x σ xy τ P N Y X B C Y y x O e S 弹性力学 78 78 xyx lmXστ a 同理，由平衡条件0 y F ∑ ，可得 yxy mlYστ b 而由平衡方程0 C M ∑ ，略去高阶小量后，又得 xyyx ττ。 因此，综合式a及b，得 在 e S上 xyx lmXστ， yxy mlYστ 4-23 式4-23称为平面问题的应力边界条件。 例如下述为两种简单情况下的应力边界条件 当边界平行于y轴时，有1l ，0m。这时，式4-23变为 在 e S上 x Xσ ， xy Yτ 当边界平行于x轴时，有0l ，1m 。这时，式4-23变为 在 e S上 x Yσ ， xy Xτ 按解答的唯一性定理，如果一组应力既满足平衡方程又满足力的边界条件，并且这组解 是完全的，则这组解就是该问题的正确解答。一般说来，应力解如果从平衡方程出发，解一 组偏微分方程是非常困难的，而如果从应力的边界条件出发分析，用材料力学的一些结果， 推测出物体内部的力， 再代入平衡方程验算这组解的正确性， 是一种简单可行的办法。 自然， 这种方法能求解的问题有限，更为普遍的方法则是4.8节中介绍的应力函数法。 4.6.2 位移边界条件 所谓位移边界条件， 就是在给定位移的边界上， 物体的位移分量必须等于边界上的已知位移。 设平面弹性体在 u S边界上给定x，y方向上的位移分别为 S u和 S v，位移u和v是边界 坐标的函数。当然它们代入 u S边界点的坐标时，则等于该点所给定的位移，即 在 u S上 S uu， S vv 4-24 式4-24称为弹性力学平面问题的位移边界条件。 例如，对于平面固定端约束梁的完全固定边有 0 s u 0 s v 4.6.3 混合边界条件 混合边界条件分为两种情况。 如图4.6a所示，物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。如矩形截面悬 臂梁，固定端这部分面积属于 u S部分，给定了位移，未给定外力。其他五个面都属于 e S部 分，它们的外力是给定的，包括为零的量。边界情况为 0 0 xyS s Y uu τ⎧ ⎨ ⎩ 应力边界条件 位移边界条件 第 4 章 平面问题的基本理论 79 79 如图4.6b所示物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一个为应力边 界条件。边界情况为 0 0 xS s vv σ⎧ ⎨ ⎩ 应力边界条件 位移边界条件 图 4.6 注意，边界条件是求解弹性力学问题的重要条件，应力分量函数要满足物体内部和边 界所有各点的平衡条件。 同时在 u S 面上要满足几何边界条件， 否则不能认为是该问题的解。 这一点正是弹性力学问题求解的困难之一。 4.7 圣维南原理 求解弹性力学问题时，所求应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程相 对容易，但在有的情况下边界上往往不知应力的分布情况，而只知道某一段边界上的合力 与合力矩，要严格完全满足应力边界条件往往很难做到，这要借助于由法国科学院院士 Saint-Venant圣维南首先发现和总结的圣维南原理来解决。 圣维南原理可表述为作用在物体表面上一个局部区域内的力系，可以用一个与之静 力等效的任意力系来代替，由它们产生的应力分布在力系作用区域内有显著不同，在离开 力系作用区域相当远的范围内，其应力分布几乎是相同的。例如，很难找到受集中力作用 的轴向拉压杆的弹性力学的应力解答，但是用两端受均部载荷的解答代替，只是在集中力 附近产生差别，在较远处的应力几乎是相同的。圣维南原理中强调的是两点一是力系作 用范围是局部的，二是所作用的力系必须是静力等效的。因此，圣维南原理又称为力作用 的局部性原理。如图4.7所示为三根受拉杆，虽然它们在两端的受力作用方式不同，但所 受的拉力在静力上是等效的。 将图4.7c情况下的应力解答应用到图4.7a 与4.7b上的拉 力杆，是不能满足两端的应力边界条件的，但可以用来表明距两端较远处的应力状态，没 有明显的误差，即离杆两端较远处所受的影响可以不计。 O y x y x O ab 弹性力学 80 80 圣维南原理等效应力边界条件可以写成两种方法。 1 用静力等效的分布面力代替原始合力的等效力方法，公式表示 d d d xxi s i yyi s i zzi s i FFX s FFY s MMXyYxs ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∑∫ ∑∫ ∑∫ 2 取局域微段边界平衡方法，公式表示 d d dd xxix i yyiy i zzixy i FFy FFx MMy yx x σ σ σσ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∑∫ ∑∫ ∑∫ 下面举例说明如何在边界上应用圣维南原理。 【例 4.2】 矩形截面水坝，如图4.8所示，其右侧受静水压力，顶 部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。 解 左侧面1l ，0m ，0XY， 代入应力边界条件公式4-23 得 0 0 xx h xyx h σ τ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ 右侧面1l −，0m Xyγ，0Y ，代入应力边界条件公式4-23得 0 xxh xyxh yσγ τ − − −⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ 上端面为次要边界一小部分边界求解。x，y方向力等效得 0 dcos h yx hy xPτα − ∫ ， 0 dsin h yy h xPσα − − ∫ 对o点的力矩等效得 0 dsin 2 h yy h h x xPσα − − ∫ 上端面也可用边界平衡法 ox h 2 h h y γ P y σ yx τ y yx τ y σ x y α P 图 4.8 图 4.7 P P a / 2P/2P b P A σ P A σ c 第 4 章 平面问题的基本理论 81 81 0 d h xy hy xτ − ∫ cos0Pα− 0 d h y hy xσ − ∫ sin0Pα 0 d h y hy x xσ − ∫ sin0 2 h Pα⋅ 可见，应用圣维南原理的两种方法结果是相同的，注意 xy τ必须按正向假设。 必须指出，应用圣维南原理应该要符合前面强调的两点，对于图4.9所示的薄壁构件 或壳体，静力平衡的小区域必须相对于作用的位置和壁厚，不然的话，静力平衡力系或等 效力系将会引起很大的影响。例如“工”型截面悬臂梁，在悬臂端受集中力作用，如果将 图4.9a用图4.9b代替，将改变原来构件的受力和变形特征，故不能应用圣维南原理。 a b 图 4.9 4.8 弹性力学中的应力函数 4.7节介绍的求解平面问题， 应力基本未知量是根据两个平衡方程和一个应变协调方程 联立的偏微分方程组求得的。显然，满足这个方程组的特解是无穷多的，而其中适用于某 个具体问题的乃是其中能够满足给定的边界条件的特解。要想得到问题的解，解答应直接 对三个方程组成的偏微分方程组进行积分以求得，显然是相当困难的，后来，人们找到了 一种间接的办法，就是在解题时引入一个与应力分量 x σ， y σ和 xy τ有确定关系的函数，即 所谓应力函数 , x yϕ，而把问题归结为寻找一个能同时满足平衡方程和相容方程的应力函 数的方法。找到应力函数后，再利用基本方程求应力应变问题。下面来讨论在给定边界条 件下的应力函数ϕ。 首先，考察没有体积力的平衡方程，它是一个齐次微分方程组，即 P P 2 1 P 2 1 弹性力学 82 82 0 0 yx x xyy xy xy τ σ τσ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ a 由第一式有 yx x xy τ σ ∂ − ∂ ∂∂ b 由全微分充分必要条件知，一定存在二元函数 , AA x y，使得 2 AAA x yxyyx ∂∂∂∂∂ ∂ ∂∂∂∂∂ c 与式b比较，可假设 x A y σ ∂ ∂ ， yx A x τ ∂ − ∂ d 同理，由a式的第二式，可引入一个二元函数 , BB x y，有 y B x σ ∂ ∂ ， xy B y τ ∂ − ∂ e 应用剪应力互等定理 xyyx ττ，所以有 AB xy ∂∂ ∂∂ f 为使f成立，仿照上述做法，再引入另一个函数 , x yϕϕ，并假设 A y ϕ∂ ∂ ，B x ϕ∂ ∂ 将上式代入d、e式，得到 2 2 x y ϕ σ ∂ ∂ ， 2 2 y x ϕ σ ∂ ∂ ， 2 xy x y ϕ τ ∂ − ∂ ∂ 4-25 上式恒满足式a，是平衡微分方程的齐次解，把函数 , x yϕ称为应力函数，最早由Airy 提出，故称为Airy艾瑞应力函数。如果考虑体积力，且体积力为常量时，要满足平衡方 程还必须加上一组特解，即 x Xxσ −， y Yyσ −，0 xy τ 最后得到构成满足平衡方程的通解为 2 2 x Xx y ϕ σ ∂ − ∂ ， 2 2 y Yy x ϕ σ ∂ −