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第 3 章 空间问题的解答 教学提示在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外 荷载以及材料的物理常数；需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的 函数。对于空间问题，一共有 15 个未知函数；3 个位移分量、6 个应变分量和 6 个应力分 量。可利用的独立方程也有 15 个，即 3 个平衡微分方程、6 个几何方程和 6 个物理方程。 对于求解的结果，在边界上还必须满足问题的边界条件。 教学要求对于空间问题的解答，要求熟练掌握按位移求解的空间理论方程和计算求 解方法、按应力求解的空间理论方程和计算求解方法。要求深入了解应力求解法的连续性 条件，掌握应力协调方程组和边界条件的运用，以及求解方法。 3.1 按位移求解空间问题 本节主要讨论按位移求解中的两个变换，即推演用位移分量表示的平衡微分方程和应 力边界条件。 考查平衡微分方程 0 0 0 yx xzx xyyzy yz xzz X xyz Y xyz Z xyz τ στ τστ τ τσ ∂ ∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂∂ 可见，为实现第一个变换，需要将上式中的应力分量用位移分量表示。 为此，将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示的弹性方程如下 2 112 2 112 2 112 x y z xyxy yzyz Euu eeG xx Evv eeG yy Eww eeG xz vu GG xy wv GG yz μ σλ μμ μ σλ μμ μ σλ μμ τγ τγ ⎛⎞∂∂ ⎜⎟ −∂∂ ⎝⎠ ⎛⎞∂∂ ⎜⎟ −∂∂ ⎝⎠ ⎛⎞∂∂ ⎜⎟ −∂∂ ⎝⎠ ⎛⎞∂∂ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ⎛⎞∂∂ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ 3-1a 第 3 章 空间问题的解答 31 31 zxzx wu GG xz τγ ∂∂⎛⎞ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ 3-1b 式中， μ μ λ 21 2 − G 。将式3-1中的应力分量 xy σ， yx τ， zx τ代入平衡方程中的第一式，得 222 222 0 euuuuvw GX xxyzxxyz λ ⎡⎤⎛⎞⎛⎞ ∂∂∂∂∂∂∂∂ ⎢⎥⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎦⎣ 注意到 xyz uvw xyz εεεθ ∂∂∂ ∂∂∂ ，而符号 222 2 222 xyz ∂∂∂ ∇ ∂∂∂ 为拉普拉斯算子，所以 上式变为式3-2中的第一式。同理可得3-2中的第二、第三式。 2 2 2 0 0 0 e GGuX x e GGvY y e GGwZ z λ λ λ ∂ ∇ ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ ∇ ∂ 3-2 法国科学家拉梅Lam，17951870年在得到方程3-2后，自己当时并不知道这方程 有什么应用价值，很多年后，这方程才用于解题。偏微分方程3-2是弹性力学问题的静力 学、几何学和物理学三方面的综合，是用位移分量表示的平衡微分方程，也是按位移求解 空间问题时所需用的基本微分方程，常被称为拉梅方程。 为了实现第二个变换，我们将应力边界条件也用位移分量表示。为此，只要将式3-1 代入应力边界方程，即得 2 2 2 uvuwu XeGlGmGn xxyxz vwvuv YeGmGnGl yyzyx wuwvw ZeGnGlGm zzxzy λ λ λ ⎛⎞∂∂∂∂∂ ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞∂∂∂∂∂ ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ 3-3 另外，对于轴对称问题，也可以进行与上述相同的推导，得出相应的微分方程。为此， 首先将几何方程代入物理方程，得出弹性方程 2,2 2, rr r r zzr uu eGeG rr uww eGG zzr θ σλσλ σλτ ∂⎧ ⎪ ∂⎪ ⎨ ∂∂∂⎛⎞ ⎪ ⎜⎟ ⎪∂∂∂ ⎝⎠⎩ 3-4 式中 rr uuw e rrz ∂∂ ∂ 。再将式3-4代入平衡微分方程，简化以后，得出 弹性力学 32 32 2 2 2 0 0 r rr ue GGuGX rr e GGwZ z λ λ ∂⎧ ∇− ⎪ ⎪∂ ⎨ ∂ ⎪ ∇ ⎪ ∂⎩ 3-5 这就是按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程。 综上所述，以位移作为基本未知函数求解时，归结为在给定的边界条件下求解拉梅方 程。求得了位移分量，就可通过几何方程和式3-1求应变分量和应力分量。 3.2 按应力求解空间问题 以应力作为基本未知函数求解基本方程时，首先应力分量必须满足平衡微分方程和应 力边界条件。但须指出，仅仅满足上述条件的应力分量，还不是真正要求的应力，因为， 如果把由这组应力分量求出的应变分量代入几何方程时，可能会得到一组矛盾方程，此时 就不可能求得单值连续的位移分量。欲使此组方程不矛盾，则要求应力分量不仅满足平衡 微分方程和应力边界条件，而且还要求由这组应力分量所求出的应变分量满足应变协调方 程。这一点，也可以从物理方面加以解释。因为，应力分量满足平衡微分方程和应力边界 条件，只能保证物体的平衡，尚不能保证物体是连续的。只有当由这组应力分量求出的应 变分量还满足应变协调方程时，才能同时保证物体连续。对于按位移求解，应变协调方程 是自动满足的，这时，它只能作为校核之用。由此可见，应变协调方程是一组补充方程， 仅在以应力作为基本未知函数求解时，才需要用它。 3.2.1 方程的变换 以应力作为基本未知函数求解时，必须采用平衡微分方程，应变协调方程2-26a、 2-26b和物理方程。现在的问题，是要从中消去应变分量，使它们变成一组以应力分量表 示的方程。由于平衡微分方程本来就是用应力分量表示的，所以下面只需从应变协调方程 2-26a、2-26b和物理方程中消去应变分量即可。 把物理方程改写成 11 [][1] 11 [1],[1] 212121 ,, xxyzx yyzz xyxyyzyzzxzx EE EE EEE εσμ σσμ σμΘ εμ σμΘεμ σμΘ μμμ γτγτγτ ⎧ −− ⎪ ⎪ ⎪ −− ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ a 将方程组a代入方程组2-26a的第二式 22 2 22 yyz z yzz y εγ ε ∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂ 得 222 22 [1][1][21] zyyz yzy z μ σμΘμ σμΘμ τ ∂∂∂ −− ∂∂∂ ∂ 第 3 章 空间问题的解答 33 33 22 222 2222 1121 yyz z yyzzy z στ σΘΘ μμμμμ ∂∂ ∂∂∂ −− ∂∂∂∂∂ ∂ 因此，得 22 222 2222 2 1 yyz z zyyzy z στ σμΘΘ μ ∂∂⎡⎤ ∂∂∂ − ⎢⎥ ∂∂∂∂∂ ∂ ⎣⎦ b 如将方程组a代入方程组的第三、第一式，可得到类似于b的式子。这里采用轮换x， y，z，得到其余两式，即 22 222 2222 22222 2222 22 222 2222 2 1 2 1 2 1 yyz z xzxz yxy x zyyzy z xzzxx z yxyxy x στ σμΘΘ μ στσμΘΘ μ στ σμΘΘ μ ⎧∂ ∂⎡⎤ ∂∂∂ − ⎪ ⎢⎥ ∂∂∂∂∂ ∂ ⎣⎦⎪ ⎪ ⎡⎤∂∂∂∂∂ ⎪ − ⎨ ⎢⎥ ∂∂∂∂∂ ∂ ⎣⎦⎪ ⎪ ∂∂⎡⎤ ∂∂∂ ⎪ − ⎢⎥ ⎪ ∂ ∂∂∂∂ ∂ ⎣⎦⎩ 再将方程组a代入方程组2-26b的第三式，即代入 2 2 yzxy zxx xxyzy z γγ γε ∂∂⎡⎤ ∂∂∂ − ⎢⎥ ∂∂∂∂∂ ∂ ⎣⎦ c 得 [] 22 22 2 21212121 yzxy zx x xx yx zy z ττ τ μμμμ σμΘ ∂∂ ∂∂ −− ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ 从而得 22 1 yzxy xzx y zy zxxyz ττ στμΘ μ ∂∂⎡⎤ ∂∂∂∂ −− ⎢⎥ ∂ ∂∂ ∂∂∂∂∂ ⎣⎦ 轮换x，y，z，得其余两式，从而得 22 2 2 22 1 1 1 yzxy xzx yxyyz zx xyyz zxz y zy zxxyz z xz xyyzx x yx yzzxy ττ στμΘ μ σττ τμΘ μ ττ τσμΘ μ ∂∂⎡⎤ ∂∂∂∂ −− ⎢⎥ ∂ ∂∂ ∂∂∂∂∂ ⎣⎦ ∂∂∂⎡⎤ ∂∂∂ −− ⎢⎥ ∂ ∂∂ ∂∂∂∂∂ ⎣⎦ ∂∂⎡⎤ ∂∂∂∂ −− ⎢⎥ ∂ ∂∂ ∂∂∂∂∂ ⎣⎦ 为了简化上式，我们运用平衡微分方程组的第二和第三式对y和z求一阶偏导数，然后相 加，得 弹性力学 34 34 222 2 2 22 2 0 0 yxyyz zy zxz Y x yyy zy Z z xz yzz τστ τ τσ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂∂ ＋ 22 2 22 2 yzyyx zxz YZ y zyzxyzyz τστ τσ ∂∂∂⎡⎤ ∂∂∂∂∂ −−−−− ⎢⎥ ∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂ ⎣⎦ 应用平衡微分方程第一式，即 0 xy xxz X xyz τ στ ∂ ∂∂ ∂∂∂ xy xzx X yzx τ τσ ∂ ∂∂ −− ∂∂∂ 从而得 22 22 222 2 22 222 2 2 yzy xz y xz XYZXX y zyzxxyzxx XYZX xyzxyzx τσ σσ σ σσ ∂−∂ ∂∂∂∂∂∂∂ −−−− ∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ∂ ∂⎛⎞∂∂∂∂∂ −−− ⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠ d 将式a代入式b的右边，得 22 222 2222 2 22 222 2 1 2 yzy z y xz y zzyyz XYZX xyzxyzx τσ σμΘΘ μ σ σσ ∂∂⎡⎤ ∂∂∂ − ⎢⎥ ∂ ∂∂∂∂∂ ⎣⎦ ∂ ∂⎛⎞∂∂∂∂∂ −−− ⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠ 22 22222 2222222 2 1 yy xzz X zzyyyzxx XYZ xyz σσ σσσμΘΘ μ ∂∂⎡⎤ ∂∂∂∂∂∂ −−− ⎢⎥ ∂∂∂∂∂∂∂∂ ⎣⎦ ⎛⎞∂∂∂ − ⎜⎟ ∂∂∂ ⎝⎠ e 注意到 yzx σσΘσ−，因此 222 222 x yz zzz σΘ σσ ∂∂∂ − ∂∂∂ ， 222 222 x yz yyy σΘ σσ ∂∂∂ − ∂∂∂ 代入式e，得 2222222 2222222 2 1 xxx X zzyyyzxx XYZ xyz σσσΘΘμΘΘ μ ⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂ −−−−− ⎢⎥ ∂∂∂∂∂∂∂∂ ⎣⎦ ⎛⎞∂∂∂ − ⎜⎟ ∂∂∂ ⎝⎠ 第 3 章 空间问题的解答 35 35 或 2222222 2222222 111 111 2 x yzxxxyz XYZX xyzx ΘΘΘΘ σ μμμ ⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂ −− ⎜⎟⎢⎥ ∂∂∂∂∂∂∂ ⎣⎦⎝⎠ ⎛⎞∂∂∂∂ − ⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠ 即 2 22 2 11 2 11 x XYZX xxyzx Θ Θσ μμ ⎛⎞∂∂∂∂∂ ∇−−∇ − ⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠ f 轮换x、y和z，得其余两式，从而得 2 22 2 2 22 2 2 22 2 11 2 11 11 2 11 11 2 11 x y z XYZX xxyzx XYZY yxyzy XYZZ zxyzz Θ Θσ μμ Θ Θσ μμ Θ Θσ μμ ⎛⎞∂∂∂∂∂ ∇−−∇ − ⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠ ⎛⎞∂∂∂∂∂ ∇−−∇ − ⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠ ⎛⎞∂∂∂∂∂ ∇−−∇ − ⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠ 222 31 32 11 XYZXYZ xyzxyz ΘΘΘ μμ ⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂ ∇−∇−∇ − ⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ 2 1 1 XYZ xyz μ Θ μ ⎛⎞−∂∂∂ ∇ − ⎜⎟ ∂∂∂ ⎝⎠ g 将式g代入f，得 2 2 2 111 2 111 x XYZXYZX xyzxxyzx μΘ σ μμμ ⎡⎤⎛⎞⎛⎞ ∂∂∂∂∂∂∂∂ −−−∇ − ⎢⎥⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂−∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎣⎦ 2 2 2 1 2 11 x XYZX xxyzx Θμ σ μμ ⎛⎞∂∂∂∂∂ ∇ −− ⎜⎟ ∂−∂∂∂∂ ⎝⎠ 轮换x，y和z，得 2 2 2 1 2 11 y XYZY yxyzy Θμ σ μμ ⎛⎞∂∂∂∂∂ ∇ −− ⎜⎟ ∂−∂∂∂∂ ⎝⎠ 2 2 2 1 2 11 z XYZZ zxyzz Θμ σ μμ ⎛⎞∂∂∂∂∂ ∇ −− ⎜⎟ ∂−∂∂∂∂ ⎝⎠ 上面第一式两边乘上1μ，得 2 2 2 1 12 1 x XYZ xxyz Θμ μσμμμ μ ⎡⎤∂∂∂∂ ∇ −− ⎢⎥ ∂−∂∂∂ ⎣⎦ h 这就是要求的方程之一。经x、y、z的轮换以后，还可得类似的其余两式。 继续对关系式b进行简化。为此，将平衡微分方程的第二和第三式分别对z和y求一 弹性力学 36 36 阶偏导数，然后相加，就得到 2 2 11 yz YZ y zzy Θ μτμ ⎛⎞∂∂∂ ∇ − ⎜⎟ ∂ ∂∂∂ ⎝⎠ i 经x，y，z的轮换后，还可得到类似的其余两式。 综上所述，我们共得到如下的6个关系式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 12 1 1 12 1 1 12 1 11 x y z xy XYZ xxyz YXZ yyxz ZYX zzyx XY y xyx y z Θμ μσμμμ μ Θμ μσμμμ μ Θμ μσμμμ μ Θ μτμ Θ ⎡⎤∂∂∂∂ ∇ −− ⎢⎥ ∂−∂∂∂ ⎣⎦ ⎡⎤∂∂∂∂ ∇ −− ⎢⎥ ∂−∂∂∂ ⎣⎦ ⎡⎤∂∂∂∂ ∇ −− ⎢⎥ ∂−∂∂∂ ⎣⎦ ⎛⎞∂∂∂ ∇ − ⎜⎟ ∂ ∂∂∂ ⎝⎠ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 11 11 yz zx ZY yz XZ z xzx μτμ Θ μτμ ⎛⎞∂∂ ∇ − ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ∂∂∂⎛⎞ ∇ − ⎜⎟ ∂ ∂∂∂ ⎝⎠ 3-6 此式为Beltrami-Michell于1899年导出的应力形式表示的协调方程。其实，在体力为 零或常量时，早在1892年就被意大利科学家贝尔特拉密所导出 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 10 10 10 10 10 x y z xy yz zx x y z y x y z z x Θ μσ Θ μσ Θ μσ μτ Θ μτ Θ μτ ∂ ∇ ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ Θ ∇ ∂ ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ 3-7 按应力求解空间问题时， 必须使得6个应力分量满足平衡微分方程， 满足相容方程3-6 或3-7，并在边界上满足应力边界方程。此外，对于多连体，与应力分量相应的位移还须 满足位移单值条件。 3.2.2 问题的归结 按应力求解空间问题时，归结为在给定的边界条件下，求解由平衡微分方程与应力协 第 3 章 空间问题的解答 37 37 调方程组成的偏微分方程组。 【例 3.1】 设有任意形状的等截面杆，容重为p，上端悬挂，下端自由，如图3.1所示。 试证明应力分量 x σ y σ0， z σpz， xy τ yz τ zx τ0，能满足一切条件，并试求位移分量。 图 3.1 解 所谓满足一切条件，就是要满足平衡微分方程、应力边界条件和密切尔相容方程。 1 平衡微分方程 0 yx xzx X xyz τ στ ∂ ∂∂ ∂∂∂ a 0 yxyzy Y yxz σττ∂∂∂ ∂∂∂ b 0 yz xzz Z zxy τ τσ ∂ ∂∂ ∂∂∂ c 将X0，Y0，Z -p， x σ y σ0， z σpz， xy τ yz τ zx τ0代入式a和b，恒能满足， 代入式c也能满足。 2 应力边界条件 xyxzx lmnXσττ d yxyzy lmnYτστ e xzyzz lmnZττσ f ①侧面，l，m任意，n0，0ZYX，方程式d、e、f恒能满足。 ②下面，lm0，n -1，0ZYX，代入d、e两式，恒能满足。 因为 z σpz，z0时0Z ，所以式f亦能满足。 3 密切尔相容方程 由密切尔相容方程 弹性力学 38 38 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 12 1 1 12 1 1 12 1 11 x y z xy XYZ xxyz YXZ yyxz ZYX zzyx XY y xyx y z Θμ μσμμμ μ Θμ μσμμμ μ Θμ μσμμμ μ Θ μτμ Θ ⎡⎤∂∂∂∂ ∇ −− ⎢⎥ ∂−∂∂∂ ⎣⎦ ⎡⎤∂∂∂∂ ∇ −− ⎢⎥ ∂−∂∂∂ ⎣⎦ ⎡⎤∂∂∂∂ ∇ −− ⎢⎥ ∂−∂∂∂ ⎣⎦ ⎛⎞∂∂∂ ∇ − ⎜⎟ ∂ ∂∂∂ ⎝⎠ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 11 11 yz zx ZY yz XZ z xzx μτμ Θ μτμ ⎛⎞∂∂ ∇ − ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ∂∂∂⎛⎞ ∇ − ⎜⎟ ∂ ∂∂∂ ⎝⎠ 因为 x σ y σ0， z σpz 所以 222 222222 222 0,0,0,0,0,0,0,0,0 xyzxyyzzx xyz ΘΘΘ σσστττ ∂∂∂ ∇∇∇∇∇∇ ∂∂∂ 代入密切尔相容方程式都得到了满足。 4 求位移分量 因为已知 所以 x upz xE εμ ∂ − ∂ 1 , zxp uf y z E μ − g y vpz yE εμ ∂ − ∂ 2 , zyp vfx z E μ − h z wpz zE ε ∂ ∂ 2 3 1 , 2 wfx ypz E i 因为已知 所以 yz τ0， 0 yz wv yz γ ∂∂ ∂∂ j zx τ0， 0 zx wu xz γ ∂∂ ∂∂ k xy σ0， 0 xy vu xy γ ∂∂ ∂∂ l 将g和h两式代入式l，得 12 , , 0 f y zfx z yx ∂∂ ∂∂ m 将h和i两式代入式j，得 32 , , fx yfx zpy yzE μ∂∂ ∂∂ n 将g和i两式代入式k，得 第 3 章 空间问题的解答 39 39 31 , , fx yf y zpx xzE μ∂∂ ∂∂ o 将式m对y求偏导数，式o对z求偏导数，得 2 1 2 , 0 fy z y ∂ ∂ p 2 1 2 , 0 f z y z ∂ ∂ q 从p和q两式得f1y,za1yb1zc1yzd1 同理可得 f2 x,za2xb2zc2xzd2 f3 x,ypμ/2Ex2pμ/2Ey2a3xb3yc3xyd3 将f1y,z，f2x,z，f3x,y分别代入g、h、i三式，得 1111 pxz ua yb zc yzd E μ − 2222 pyz va xb zc xzd E μ − w pμ/2Ex2pμ/2Ey2p/2Ez2a3xb3yc3xyd3 由于对称，所以 ux00, vx00，wx00 y0 y0 y0 z任意 z任意 zl 得 b1d1b2d20 2 3 2 pl d E − 0 0 x w x ∂⎛⎞ ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ 0 0 x w y ⎛⎞∂ ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ y0 y0 zl zl a3 0 b3 0 将f1y,z，f2x,z代入式m得 a1a20， c1c20 将f3x,y、f1y,z代入式n得 c1c30， b1a30 将f3x,y，f2x,z代入式o得 c2c30， b2b30 则有 c1c2c30 由于 弹性力学 40 40 0 0 x u y ⎛⎞∂ ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ 0 0 x v x ∂⎛⎞ ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ y0 y0 zl zl 则得 a1a20 则位移分量为 px uz E μ − py vz E μ − 2 2222222 [ ] 22222 pppplp wxyzxyzl EEEEE μμ μ−− 【例 3.2】 当不计体力时， 若应力分量中已知 x σ y σ xy τ0， 试证作为弹性力学问题的解， 必有 222 222 0 zzz xyz σσσ∂∂∂ ∂∂∂ 并求 z σ之表达式。 若给定剪应力分量 220 1231 2 zy a A xA yA xyyEτ− 220 1232 2 zx a B xB yB xyyEτ− 试确定其系数间的关系。 解 1 证明 222 222 0 zzz xyz σσσ∂∂∂ ∂∂∂ 。 要使给定的应力分量能作为弹性力学问题的解， 则必须满足贝尔特拉密协调方程3-10 的第一、第二式和平衡微分方程。 在已知条件下 x σ y σ0Θ z σ，所以由式3-7的第一、第二两式 2 2 2 10 x x Θ μσ ∂ ∇ ∂ 2 2 2 10 y y Θ μσ ∂ ∇ ∂ 可得 2 2 0 z x σ∂ ∂ a 2 2 0 z y σ∂ ∂ b 第 3 章 空间问题的解答 41 41 因为有式a、b，所以3-7第三式成为 22 2 22 120 z z zz σΘ μσμ ∂∂ ∇ ∂∂ 故得 2 2 0 z z σ∂ ∂ c 所以有 222 222 0 zzz xyz σσσ∂∂∂ ∂∂∂ 2 求 z σ的表达式。 因为已知 xy τ0，由3-7的第四式 2 2 10 yx x y Θ μτ ∂ ∇ ∂ ∂ ，可得 2 0 z x y σ∂ ∂ ∂ d 再由3-7的第四、第五两式可得 2 2 10 10 yz yz y x μτ μτ ∂⎧ ∇ ⎪ ∂⎪ ⎨ ∂ ⎪ ∇ ⎪ ∂⎩ e 2 2 10 10 zx zx x y μτ μτ ∂⎧ ∇ ⎪ ∂⎪ ⎨ ∂ ⎪ ∇ ⎪∂ ⎩ f 在不计体力情况下，由已知条件 x σ y σ xy τ0，从平衡微分方程可得 0 zx z τ∂ ∂ ，0 zy z τ∂ ∂ g 由此可见， zx τ及 zy τ均为x，y的函数，与z无关，可设 zx τf1x,y yz τf2x,y 代入平衡微分方程第三式得 12 0 z ff xyz σ∂∂∂ ∂∂∂ 12 3 , z ff fx y zxy σ∂∂∂ − ∂∂∂ h 由此可得 弹性力学 42 42 z σzf3x,yf4x,y i 再将式i代入a、b、d，得 22 34 22 0 ff z xx ∂∂ ∂∂ 22 34 22 0 ff z yy ∂∂ ∂∂ 22 34 0 ff z x yx y ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ 在以上三式中含有任意变量z，欲使上式成立，必有 22 34 22 0 ff xx ∂∂ ∂∂ ， 22 34 22 0 ff yy ∂∂ ∂∂ ， 22 34 0 ff x yx y ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ 由此可见，f3x,y及f4x,y应是x，y的线性函数，设为 f3a0b0 xc0y f4a1b1xc1y 从而得 z σ的表达式为 z σa0b0 xc0yza1b1xc1y j 由式e、f得 ▽2 zy τk1，▽2 zx τk2 式中，k1，k2均为常数。 再将式j代入3-7的第二、第三两式，并注意到式a，则有 2 2 10 z zy y z σ μτ ∂ ∇ ∂ ∂ ，即 1μk1 -c0 2 2 10 z zx x z σ μτ ∂ ∇ ∂ ∂ ，即 1μk2 -b0 由此得 k1-c0/ 1μ， k2 -b0/1μ k 将给定的剪应力分量 220 1231 220 1232 2 2 zy zx a A xA yA xyyE a B xB yB xyyE τ τ ⎧ − ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ − ⎪⎩ l 和式j代入协调方程3-7的第五、第六两式，得 00 1212 2, 2 11 cb AABB μμ − − 从而解得 00 2121 , 2121 cb AABB μμ ⎡⎤⎡⎤ − − ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ 将式l代入h，则有 第 3 章 空间问题的解答 43 43 -2A2ya3xa0/2-2B1xB3ya0/2a0b0 xc0y 上式两端x，y的系数应相等，所以有 -2A2-B3c0 -A3-2B1b0 由此可得 B3 -2A2-c02A1-μ/ 1μc0 A3 -2B1-b0 - 2B1b0 据此，式l可写成 2200 11101 2 212 zy ca A xAyBb xyEτ μ ⎡⎤ −−− ⎢⎥ ⎣⎦ 2200 11102 2 2112 zx ba B xByAcxyE μ τ μμ ⎡⎤⎛⎞ −−− ⎜⎟⎢⎥ ⎣⎦⎝⎠ 当 z σ给定，则上式中常数A1，B1，E1及E2可由题给的边界条件来确定。 【例 3.3】 在不计体力的情况下，若位移分量为u -ayz，vaxz，wakxy其中a，k为常 数，且k≠1。 1 试求相应的应力分量。 2 试验证此组应力分量是否能作为弹性力学问题的解。 解 1 按题给的三个位移分量，由几何方程求得应变分量为 0,0 0,1 0,1 xxy yyz zzx uvu xxy vvw ak x yzy wwu ak y zxz εγ εγ εγ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ −− ∂∂∂ 因而得应力分量为 0,0 0,1 0,1 xxy yyzyz zzxzx Gk Gax Gk aGy στ στγ στγ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ −− ⎩ m 2 所求的一组应力分量m，能满足平衡微分方程和应变协调方程3-7。故能作为弹 性力学问题的解。 【例 3.4】 如弹性体内已知应力分量为 x σ20 x3y3 xy τz y σ30 x3200 zx τy3 z σ30y330z3 yz τx3 试求坐标为2，2，1点处的体力，并确定此组应力分量是否能满足协调方程。 解 1 由平衡微分方程，得 60 x200X0 X -60 x2 000Y0 Y0 弹性力学 44 44 0090z2Z0 Z -90z2 当考查点2，2，1时，其体力分量为 X -240 Y0 Z -90 2 验算是否满足协调方程 因为 Θ x σ y σ z σ50 x331y330z3200 代入协调方程3-9，因不满足，故不能作为弹性力学问题的解。 3.3 对求解方程的讨论 在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外荷载以及材 料的物理常数。需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。对于 空间问题，一共有15个未知函数3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。可利用 的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。此外，对于 求解的结果，在边界上还必须满足问题的边界条件。因此，弹性力学问题原则上都是可解 的。由于解题时要解一系列偏微分方程组，这在数学上有时会遇到很大的困难。虽然迄今 已解答的问题非常多，但数学弹性力学所解答的问题主要限于几何形状规则、外荷载分布 相对简单的问题。近二十年来，有限单元法的应用和发展，使弹性力学的解题范围大大扩 展了。 弹性力学空间问题的解法与平面问题一样，通常也有两种位移法和应力法。此外， 这两种方法兼而有之的所谓混合解法也用得很普遍。 3.3.1 按位移求解空间问题 取点的位移为基本未知函数，将各方程中的应力和应变都用位移表示。这样，首先解出 的是3个未知函数，即3个位移分量u，v和w，由它们再去求应变和应力。具体步骤如下 1 从描述应变与位移关系的几何方程和描述应力与应变关系的物理方程中消去应 变。这样，从12个方程中消去6个方程，得到描述应力与位移关系的6个方程。将新方程 代入平衡微分方程，就得到用位移表示的3个平衡方程，这是第一个变换。 2 解位移形式的平衡微分方程，可求得位移分量u，v和w。这当中由于进行了积分 运算，会出现坐标的任意函数。这些任意函数可用由位移表示的边界条件确定。因此，必 须把边界条件也用位移表示，这是第二个变换。 3 如果需要求应变，可对位移的函数式求偏导数，即按几何方程求出应变。 4 如果还需要求出应力，可将求出的应变式代入物理方程，即得应力表达式。 在上述求解过程中，无须用到相似于平面问题的应变连续性方程。这是因为连续性方 程本身是来自几何方程的，而几何方程在上面的步骤中已用到，所以连续性方程是自动满 足的。 第 3 章 空间问题的解答 45 45 3.3.2 按应力求解空间问题 取点的应力为基本未知函数， 这就要从15个基本方程中消去应变分量和位移分量， 得 出只包含6个应力分量的方程，从而解出这些应力分量，由它们再去求应变与位移。具体 步骤如下 1 取平衡微分方程。由于这里只有3个方程，不足以决定6个应力分量，于是考虑 把连续性方程配上求解。 2 借助于物理方程把连续方程用应力表示，与平衡微分方程一起共得到9个方程。 这样就得到一组确定应力的综合方程，这是第三个变换。积分这些方程时，会有坐标的任 意函数出现，它们可以由外力边界条件来确定。 3 将所得应力分量代入物理方程，可求得应变分量表达式。 4 为了求得位移分量的表达式，应将所得的应变分量式代入几何方程，从中积分出 位移分量来。这时又会出现坐标的任意函数，这些函数可以由约束条件确定。 综上所述，要求解弹性力学问题，需要积分一系列偏微分方程组，并且要对现有的基 本方程作一些变换才行。 上述位移解、应力解以及混合解统称为直接解题方法。尽管这些方法的建立，在理论 上有着重大意义，但在实际解题过程中，却很少原原本本地按上述步骤去做，原因还是在 于数学系上困难和复杂性，因此除了直接方法之外，还有数值法求近似解，这就是即将在 第7章和第9章中讨论的平面问题求解的有限差分法和有限单元法。 3.4 半空间体受重力与均布压力 为了说明用位移法解题，现举例如下。 设有半空间体，容重为pgρ，在水平边界上受均布压力q，以边界面为xy面，z轴铅 直向下，如图3.2所示。这样，体力分量为X0，Y0，Zgρ。 图 3.2 由于对称任一铅直平面都是对称面，因而假定 u0，v0，wwz a 这样就得到 弹性力学 46 46 d d uvww e xyzz ∂∂∂ ∂∂∂ 0 e x ∂ ∂ ，