第一单元 多元函数.pdf

第八章多元函数微积分及应用第八章多元函数微积分及应用 第一单元多元函数第一单元多元函数 本单元内容要点本单元内容要点 一、平面点集 二、多元函数 三、多元函数的极限 四、多元连续函数 一、平面点集 二、多元函数 三、多元函数的极限 四、多元连续函数 本单元教学要求本单元教学要求 了解平面点集中的某些基本概念了解平面点集中的某些基本概念, 掌握多元函数极限 的求法 掌握多元函数极限 的求法, 以及证明函数极限不存在的方法以及证明函数极限不存在的方法. 本单元教学重点和难点本单元教学重点和难点 重点重点 平面点集中的概念平面点集中的概念, 多元函数的极限与多元函 数的连续性 多元函数的极限与多元函 数的连续性. 难点难点 证明多元函数极限不存在证明多元函数极限不存在. 教学时数教学时数 2课时课时 一、多元函数一、多元函数 无论在理论上或是在实践中，我们所遇到的变量是由 多个因素引起的。例如圆柱体的体积既与它的底半径 有关，也与与其高度 有关，所以，体积 是两个变 量的函数。又如地表的温度是地点及当地温度的三 元函数。更一般地，有 元函数的概念。为此我们引入 维空间及相应点集的概念。 无论在理论上或是在实践中，我们所遇到的变量是由 多个因素引起的。例如圆柱体的体积既与它的底半径 有关，也与与其高度 有关，所以，体积 是两个变 量的函数。又如地表的温度是地点及当地温度的三 元函数。更一般地，有 元函数的概念。为此我们引入 维空间及相应点集的概念。 V rh V , r h n n 我们用表示 元有序数组的集合，即我们用表示 元有序数组的集合，即 n R n {} 12 ,,,,1,2,. n ni Rx xxxR in∈ 12 ,,, n xx xx 来表示来表示. 称为元素 的第 个分量，特别地， 中的 零元 称为中的坐标原点 称为元素 的第 个分量，特别地， 中的 零元 称为中的坐标原点. k xx k n R 0 n R 称为 维称为 维实实空间空间. 维空间中的元素用维空间中的元素用nn n R n R 定义设是 维空间的一个非空子集，从到实数集 的任一映射称为定义在上的一个 元（实值）函 数，记作 定义设是 维空间的一个非空子集，从到实数集 的任一映射称为定义在上的一个 元（实值）函 数，记作 D n D fDn ,fDR→ 或或 12 ,,,,. n yf xf x xxxD∈ 其中称为自变量， 称为因变量，称为函 数的定义域，称为函数的值 域，并且称的中的子集 其中称为自变量， 称为因变量，称为函 数的定义域，称为函数的值 域，并且称的中的子集 12 ,,, n x xx y D f {}f Df x xD∈ f 1n R {} 121212 ,,,,,,,,,,, nnn x xx y yf x xxx xxD∈ 为函数在上的图形为函数在上的图形. 12 ,,, n yf x xx D n在 等于在 等于2与与3时，习惯上将点与分 别写成和，而相应的点通常表达为 或等，相应地二元函数与三元可写成 或 时，习惯上将点与分 别写成和，而相应的点通常表达为 或等，相应地二元函数与三元可写成 或 12 ,x x 123 ,,x x x , , ,x yx y z ,P x y , ,M x y z .zf Puf M 一个二元函数的图象一个二元函数的图象 ,,,zf x yx yD∈ {}, ,,,x y f x yx yD∈ 在几何上表示了空间的一张曲面。在几何上表示了空间的一张曲面。 xoy 在直角坐标下，这张曲面在 坐标平面上的投影就是函 数的定义域 在直角坐标下，这张曲面在 坐标平面上的投影就是函 数的定义域,f x y.D , , ,M x y f x y D x x y y z z O , x y 与一元函数相似，当我们用某个算式表达多元函数 时，凡是使表达式有意义的自变量所组成的点集称为这 个多元函数的定义域 与一元函数相似，当我们用某个算式表达多元函数 时，凡是使表达式有意义的自变量所组成的点集称为这 个多元函数的定义域. 例如函数的定义域为例如函数的定义域为lnzxy {},0 .Dx y xy x y o x y 0 又如，函数 的定义域为 又如，函数 的定义域为 22 arcsinzxy {} 22 ,1 .Dx y xy≤ 二、 维空间中的重要子集二、 维空间中的重要子集n 在一元函数的讨论中，我们知道，一元函数的许多性 质与函数定义域的特征有关。为了在 维空间中更好地 讨论 元函数的性质，我们首先来研究 维空间中点集 的一些特征 在一元函数的讨论中，我们知道，一元函数的许多性 质与函数定义域的特征有关。为了在 维空间中更好地 讨论 元函数的性质，我们首先来研究 维空间中点集 的一些特征. n nn 设是中的 两个点，定义两点的距离为 设是中的 两个点，定义两点的距离为 1212 ,,,,,,, nn xx xxyy yy n R 222 1122 ,. nn x yxyxyxyρ−−− 12 ,,, n xx xx 有了距离之后，便可定义中变元的极限。我们称 变元在中趋于定元 记作表达为 有了距离之后，便可定义中变元的极限。我们称 变元在中趋于定元 记作表达为 n R n R 12 ,,,, n aa aa ,xa→ ,0.x aρ→ 容易看到，变元的充要条件是 的 个分量同 时满足 容易看到，变元的充要条件是 的 个分量同 时满足 xa→x n ,1,2,,. kk xakn→ 注意到，上述概念是平面上距离问题在 维空间的延 伸。因而许多平面点集的特征则完全可以平行地移植到 注意到，上述概念是平面上距离问题在 维空间的延 伸。因而许多平面点集的特征则完全可以平行地移植到 n 维空间中。为了方便，下面的讨论我们仅限于维空间中。为了方便，下面的讨论我们仅限于2维空间 的讨论。 维空间 的讨论。 n 1.邻域 设为正数，称集合 邻域 设为正数，称集合 2 000 ,,P xyRδ∈ {} 2 00 ,,U PPRP Pδρδ∈ 为点的邻域，而为点的邻域，而 000 ,P xyδ {} 2 00 ,0,, o U PPRP Pδρδ∈ 称为点的空心邻域。称为点的空心邻域。 000 ,P xyδ {} 22 00 ,,x yxxyyδ−− ,,U PEδ⊂ 则称是的内点（见图一）。若在点的任一邻域 内，都既有 中的点，又有余集 的点，则称点是的边界点； 的边界点的全体称为的边界， 记为（见图二） 则称是的内点（见图一）。若在点的任一邻域 内，都既有 中的点，又有余集 的点，则称点是的边界点； 的边界点的全体称为的边界， 记为（见图二） PE P E c E PE E E .E∂ P 图一图一 E P 图二图二 E 例例1 集合则内点的集 合为而相应的边界为 集合则内点的集 合为而相应的边界为 {},01,01 ,Ex yxy≤≤ {} 1 ,01,01 ,Ex yxy 0, , o EU Pδ≠ ∅∩ 则称点是集合的聚点则称点是集合的聚点. 0 PE 注意到聚点的特征是注意到聚点的特征是 在点的任一空心邻域中有 无穷多个中的点 在点的任一空心邻域中有 无穷多个中的点. 0 P E 3.开集与闭集 设集合如果中的每个点都是内点，则称 是开集。 如果的余集是开集， 则称是中的 闭集。 开集与闭集 设集合如果中的每个点都是内点，则称 是开集。 如果的余集是开集， 则称是中的 闭集。 2 ,ER⊂EE E C EE 2 R 例如集合是开集，而 是闭集，集合 是非开非闭的集合。 例如集合是开集，而 是闭集，集合 是非开非闭的集合。 {} 22 1 ,12Dx yxy {} 22 2 ,12Dx yxy≤≤ {} 22 3 ,12Dx yxy≤ ,PE∈,0,PKρ E 2 R 例如，集合是有界 集，而集合为 无界集合。 例如，集合是有界 集，而集合为 无界集合。 {},01,01 ,Ex yxy≤≤ {},Dx yyx≥ x y yx o 5.直线与线段 设点令 直线与线段 设点令 2 11122212 ,,,,,P x yP xyRPP∈≠ {} 1122 ,1,,Lt x ytxyt−−∞ ∞ 称 是中过的一条直线。令称 是中过的一条直线。令L 2 R 12 ,P P {} 1122 ,1,01 ,St x ytxyt−≤ ≤ 则称是以为端点的一条线段，记为由端点 顺次相连的有限条线段所组成的并集 则称是以为端点的一条线段，记为由端点 顺次相连的有限条线段所组成的并集 S 12 ,P P 12, PP 1 112341 1 , n iinn i PPPPPPPP − − ∪∪∪∪ 称为中的一条折线。称为中的一条折线。 2 R 值得注意的是这些概念可以平行地推广到 维空间 中。而不再需要这些相应的几何意义。 值得注意的是这些概念可以平行地推广到 维空间 中。而不再需要这些相应的几何意义。 n 6.区域 设若对 中的两点存在中的折线 区域 设若对 中的两点存在中的折线 2 ,ER⊂E 1, , n P PE 1 112341 1 , n iinn i PPPPPPPP − − ∪∪∪∪ 则称是连通的。则称是连通的。E 连通的开集称为区域，区域连同其边界称为闭区域。连通的开集称为区域，区域连同其边界称为闭区域。 三、多元函数的极限三、多元函数的极限 定义设二元函数的定义域为 是的聚点，如果存在常数使得对于任意给定的正数 总存在正数只要点就有 定义设二元函数的定义域为 是的聚点，如果存在常数使得对于任意给定的正数 总存在正数只要点就有 ,f Pf x y 000 ,,D P x y D,A ,ε,δ 0 ,,, o P x yDU Pδ∈∩ ,,f PAf x yAε−−,δε , o PU Oδ∈ ,0,f x yε− 所以，所以， ,0,0 lim,0. x y f x y → 例例2 求极限求极限 0 2 sin lim. x y xy x → → 解因解因 00 22 sinsin limlim1 22. xx yy xyxy y xxy →→ →→ ⋅ 所以所以 sinsin , xyxy y xxy 而而 0 2 sin lim1. x y xy xy → → 例例3 证明极限不存在。证明极限不存在。 22 2 22 0 0 lim x y x y x yxy → → − 证令则证令则0,0,xy→ ,0,0,f x yfy 故，故， 22 2 22 00 0 limlim00. xy y x y x yxy → → − 再令则再令则0,yx→ 22 22 00 lim,lim1, yxyx x y f x y x y → → 因而所给函数的极限不存在。因而所给函数的极限不存在。 例例4 证明不存在证明不存在. 2 42 0 0 lim x y x y xy → → 证当时证当时,0,0 xy→ ,0,0,f x yfy 故，故， 2 42 00 0 limlim00. xy y x y xy → → 再令则有再令则有 2 0,yx→ 4 44 00 1 lim,lim, 2 yxyx x f x y xx → → 因而所给函数的极限不存在。因而所给函数的极限不存在。 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 定义设二元函数的定义域为 是的聚点，且如果 定义设二元函数的定义域为 是的聚点，且如果 ,f Pf x y,D 000 ,P xy D 000 ,,P xyD∈ 00 00 ,, lim,,, x yxy f x yf xy → 则称函数在点处连续；如果函数 在的每一处都连续，则称函数在上 连续，或称是上的连续函数，记作 则称函数在点处连续；如果函数 在的每一处都连续，则称函数在上 连续，或称是上的连续函数，记作 ,f x y 000 ,P xy ,f x y D,f x yD ,f x yD .fC D∈ 平行地可以定义多元函数的连续性。 如同一元函数，利用多元函数的极限运算法则，可知 多元连续函数的和、积、商（在分母不为零处）仍是连 续函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数。 平行地可以定义多元函数的连续性。 如同一元函数，利用多元函数的极限运算法则，可知 多元连续函数的和、积、商（在分母不为零处）仍是连 续函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数。 所谓多元初等函数，是指能用一个算式表示的多元函 数，这个算式有常量及其有不同自变量的一元基本初等 函数经过有限次四则运算和复合运算而得到的。平行 地，我们有如下结论 定理多元初等函数在定义域内都是连续函数。 所谓多元初等函数，是指能用一个算式表示的多元函 数，这个算式有常量及其有不同自变量的一元基本初等 函数经过有限次四则运算和复合运算而得到的。平行 地，我们有如下结论 定理多元初等函数在定义域内都是连续函数。 有界闭区域上连续函数的基本性质 性质 有界闭区域上连续函数的基本性质 性质2 有界闭区域上的多元连续函数是有界函数。 性质 有界闭区域上的多元连续函数是有界函数。 性质1 有界闭区域上的多元连续函数可取到最大值和 最小值。 性质 有界闭区域上的多元连续函数可取到最大值和 最小值。 性质3 有界闭区域上的多元连续函数必可取到介于最 大值和最小值中的一切值。 有界闭区域上的多元连续函数必可取到介于最 大值和最小值中的一切值。