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21 世纪全国高校应用人才培养基础课规划教材概率论与数理统计概率论与数理统计黄清龙阮宏顺主编吴春青石澄贤副主编北京大学出版社北京内容简介本书系统地介绍了概率论与数理统计的基本内容，包括随机事件与概率、随机变量及其分布、随机向量、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、抽样和抽样分布、参数估计、假设检验、方差分析及回归分析。面对高等教育大众化趋势，本书侧重于基本概念、基本理论和方法，尽量做到内容叙述详细，语言表达通俗易懂，不刻意追求理论深度和解题技巧；通过具体而有趣的实例表述概率统计的基本概念和思想方法，通过较多的例题阐明用概率统计方法分析和解决问题的思路和步骤，启发学生学习兴趣，培养学生分析问题和解决问题的能力。本书还介绍了 MATLAB 的统计功能与应用。本书可作为高等学校工科、理科（非数学类）各专业教材或教学参考书，也可供工程技术人员、管理人员和自学者参考。图书在版编目CIP数据概率论与数理统计/黄清龙，阮宏顺主编. 北京北京大学出版社，2005.8 21 世纪全国高校应用人才培养基础课规划教材 ISBN 7-301-09494-9 I. 概 Ⅱ. ①黄 ②阮 Ⅲ. ①概率论高等学校教材 ②数理统计高等学校教材 Ⅳ. O21 中国版本图书馆 CIP 数据核字2005第 090653 号书名概率论与数理统计著作责任者黄清龙阮宏顺主编责任编辑魏红梅标准书号ISBN 7-301-09494-9/O0662 出版者北京大学出版社地址北京市海淀区中关村北京大学校内 100871 网址电话邮购部 62752015 发行部 62750672 编辑部 62750667 出版部 62754962 电子信箱pup_6 印刷者发行者北京大学出版社经销者新华书店 787 毫米980 毫米 16 开本 12.印张 251 千字 2005 年 8 月第 1 版 2006 年 7 月第 2 次印刷定价18.00 元前言本书参照原国家教委工科数学课程教学指导委员会审订的概率论与数理统计课程教学基本要求和近年来全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲的基本要求编写。本书着重介绍概率论的基本概念、基本理论以及常用的数理统计方法。在编写本书时，编者力求做到取材适当，概念清晰，注重联系实际。为使目前工科数学教学内容存在经典过多而现代不足的现状有所改观，并提高学生运用数理统计方法的能力，编者首先是在概念的引入上尽量通过具体实例或学生已有的知识引入概念，逐步培养学生从实际问题归纳和抽象数学问题即数学建模的能力。在例题中，先分析题意，通过分析将具体例题归结为相应的概率统计问题然后再计算。通过这样的训练，使学生了解并逐渐掌握用概率统计的理论和方法解题（进一步地解决实际问题）的思想方法和步骤，以培养学生分析问题、解决问题的能力。同时在保证理论系统性的基础上，尽可能多地举一些联系实际的例子。通过这些解决实际问题的例子，提高学生学习兴趣，激发学生的求知欲望，培养学生的创新和创造性思维能力。本书第一部分为概率论，包括第 1 章至第 5 章，主要讨论随机事件与概率、随机变量及其分布、随机向量、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理等内容；第二部分数理统计共 4 章，主要讨论随机样本的抽样和抽样分布、参数估计、假设检验、方差分析和回归分析。面对高校扩招后高等教育大众化趋势，在编写本书时侧重于基本概念、基本理论和基本方法，尽量做到内容叙述详细，通俗易懂，而不刻意追求解题技巧。本书例题较多，书末还附有习题答案，便于学生自学。面对计算机应用和数学软件的普及，本书将 MATLAB 引入概率统计教学。MATLAB 是集计算、可视化和编程等功能于一身的最流行的科学和工程计算软件之一。在书末初步介绍了 MATLAB 的统计功能与应用，目的是希望把计算机应用与概率统计教学有机地结合起来，把数学软件与运用概率统计方法解决实际问题结合起来。本书由黄清龙、阮宏顺、吴春青、石澄贤编写，由黄清龙统稿。限于编者水平，同时编写时间也较仓促，书中难免存在不妥甚至谬误之处，恳请读者批评指正。本书的出版得到了江苏工业学院教务处、信息科学系领导以及数学专业老师们的关心概率论与数理统计 II 和支持，并得到了江苏工业学院教学改革基金的资助，在成书过程中还得到了吴建成教授的许多鼓励和帮助，在此深表谢意。编者 2005 年 6 月目录第一部分概率论第 1 章随机事件与概率................................................................................................................................3 1.1 随机事件.................................................................................................................................................3 1.1.1 随机试验与样本空间.................................................................................................................3 1.1.2 随机事件.....................................................................................................................................3 1.1.3 事件间的关系和运算.................................................................................................................4 1.2 事件的概率.............................................................................................................................................8 1.2.1 概率的统计定义及性质.............................................................................................................8 1.2.2 概率的古典定义.........................................................................................................................9 1.2.3 几何概率................................................................................................................................... 11 1.2.4 概率的公理化定义...................................................................................................................12 1.3 概率的加法公式...................................................................................................................................13 1.4 条件概率与乘法公式...........................................................................................................................16 1.4.1 条件概率...................................................................................................................................16 1.4.2 概率的乘法公式.......................................................................................................................17 1.5 全概率公式与贝叶斯公式...................................................................................................................18 1.5.1 全概率公式...............................................................................................................................18 1.5.2 贝叶斯Bayes公式..................................................................................................................20 1.6 事件的独立性与贝努里概型...............................................................................................................22 1.6.1 事件的独立性...........................................................................................................................22 1.6.2 贝努里概型...............................................................................................................................24 习题一............................................................................................................................................................26 第 2 章随机变量及其分布.........................................................................................................................29 2.1 随机变量的概念...................................................................................................................................29 2.2 离散型随机变量...................................................................................................................................30 2.2.1 分布列的概念与性质...............................................................................................................30 2.2.2 几种常见的离散型分布...........................................................................................................31 概率论与数理统计 IV 2.3 连续型随机变量...................................................................................................................................35 2.3.1 连续型随机变量的概率密度函数...........................................................................................35 2.3.2 几种常见的连续型分布...........................................................................................................37 2.4 分布函数...............................................................................................................................................40 2.4.1 分布函数的概念.......................................................................................................................40 2.4.2 分布函数的性质.......................................................................................................................41 2.4.3 正态分布的概率计算...............................................................................................................43 2.5 随机变量函数的分布...........................................................................................................................46 2.5.1 离散型随机变量的函数的分布...............................................................................................47 2.5.2 连续型随机变量的函数的分布...............................................................................................48 习题二............................................................................................................................................................50 第 3 章随机向量............................................................................................................................................54 3.1 随机向量的联合分布...........................................................................................................................54 3.1.1 联合分布函数...........................................................................................................................54 3.1.2 二维离散型随机向量及其联合分布列...................................................................................55 3.1.3 二维连续型随机向量及其联合密度函数...............................................................................56 3.2 边缘分布与随机变量的独立性...........................................................................................................59 3.2.1 边缘分布...................................................................................................................................59 3.2.2 随机变量的独立性...................................................................................................................62 3.3 两个随机变量的函数的分布...............................................................................................................66 3.3.1 离散型情形的举例...................................................................................................................66 3.3.2 连续型情形的举例...................................................................................................................67 习题三............................................................................................................................................................71 第 4 章随机变量的数字特征.....................................................................................................................74 4.1 数学期望...............................................................................................................................................74 4.1.1 数学期望的概念.......................................................................................................................74 4.1.2 随机变量函数的数学期望.......................................................................................................77 4.1.3 数学期望的性质.......................................................................................................................79 4.2 方差.......................................................................................................................................................80 4.2.1 方差的概念...............................................................................................................................80 4.2.2 方差的性质...............................................................................................................................82 4.3 矩、协方差和相关系数.......................................................................................................................83 4.3.1 矩...............................................................................................................................................83 4.3.2 协方差和相关系数...................................................................................................................83 目录 V 习题四............................................................................................................................................................86 第 5 章大数定律与中心极限定理...........................................................................................................89 5.1 大数定律...............................................................................................................................................89 5.1.1 契比雪夫不等式.......................................................................................................................89 5.1.2 大数定律...................................................................................................................................89 5.2 中心极限定理.......................................................................................................................................91 习题五............................................................................................................................................................93 第二部分数理统计第 6 章抽样和抽样分布..............................................................................................................................97 6.1 总体与样本...........................................................................................................................................97 6.2 统计量...................................................................................................................................................97 6.3 抽样分布...............................................................................................................................................99 习题六..........................................................................................................................................................104 第 7 章参数估计..........................................................................................................................................106 7.1 参数的点估计.....................................................................................................................................106 7.1.1 矩估计法.................................................................................................................................107 7.1.2 极大似然估计法.....................................................................................................................109 7.2 估计量的评价标准............................................................................................................................. 113 7.2.1 无偏性..................................................................................................................................... 113 7.2.2 有效性..................................................................................................................................... 114 7.2.3 一致性..................................................................................................................................... 115 7.3 区间估计............................................................................................................................................. 116 习题七..........................................................................................................................................................123 第 8 章假设检验..........................................................................................................................................126 8.1 假设检验的基本概念.........................................................................................................................126 8.1.1 假设检验的概念.....................................................................................................................126 8.1.2 两类错误.................................................................................................................................127 8.2 正态总体均值的假设检验.................................................................................................................128 8.2.1 单个总体 2 ,Nμ σ的均值μ的检验....................................................................................128 8.2.2 两个正态总体均值差的检验.................................................................................................129 概率论与数理统计 VI 8.3 正态总体的方差的假设检验.............................................................................................................131 8.3.1 单个正态总体方差 2 σ的检验 2 χ检验.........................................................................131 8.3.2 两个正态总体方差相等的检验F 检验.............................................................