坚硬顶板突然断裂过程中的突变模型.pdf

收稿日期 ２００４ － ０５ － １７ 作者简介 牟宗龙（１９７９ － ） ， ２００２ 年 ７ 月毕业于中国矿业大学采矿系 ，现在中国矿业大学能源学院继续进行硕士研究生学习 。 文章编号 １００３ － ５９２３（２００４）０４ － ００９０ － ０３ 坚硬顶板突然断裂过程中的突变模型 牟宗龙 ， 窦林名 （中国矿业大学 ， 江苏 徐州 ２２１００８） 摘 要 本文分析了坚硬顶板发生断裂和发展的机制 ， 在此基础上 ， 应用突变理论 ， 采取拓扑变换的方法 ， 得到了坚硬顶板断裂起动过程的突变条件 ， 建立了断裂起动过程的突变模型 ， 通过对突变模型的数学分析 ， 解 释了坚硬顶板断裂和发展的机制 ， 并提出了防治坚硬顶板引发冲击矿压所应采取措施的机理 。 关键词 坚硬顶板 ； 断裂 ； 冲击矿压 ； 突变理论 中图分类号 TD３２４ 文献标识码 A 1 引言 煤层坚硬顶板的突然断裂容易导致煤矿冲击 矿压的发生 ， 引起煤或煤与瓦斯的突出 ，严重的可 以造成重大的人员伤亡和设备的损坏 ， 因此有必要 对坚硬顶板引起的冲击矿压作进一步的研究 ， 为坚 硬顶板冲击矿压的防治提供支持 。 2 坚硬顶板突然断裂的起动和发展机制 采掘巷道的开挖引起围岩应力的重新分布 ， 随 着回采的进行 ， 工作面前方的煤体和顶板将缓慢地 移动和变形（暂不考虑底板的应力和变形情况） ， 其 中 ， 一般情况下工作面前方一定范围内的应力分布 如下（图 １） 图 １ 工作面前方应力分布 图 ２ 坚硬顶板断裂示意图 下面分析坚硬顶板是怎样断裂的以及顶板断 裂引发冲击矿压发生的机理 工作面自切眼向前推进 ，对于顶板而言 ，由于 下方支撑煤体逐渐被采出 ， 顶底板和煤层的应力状 态和储存的弹性能发生变化 ， 即应力增大和弹性能 增加 ， 随着采面的推进 ，顶板逐渐达到极限应力状 态 ， 此时 ， 若顶板受到某种扰动 ， 即外界施加给处于 极限应力状态下的顶板一冲击能量 ， 由于拉应力的 存在 ， 则顶板的下（或上）边缘最薄弱处（或裂隙处） 将首先发生断裂失稳 ， 见图 ２ 。 由于此时的顶板已 经处于高应力高能储状态 ， 故当它的某一微小部分 发生破碎断裂时 ， 所释放的能量远大于它断裂时吸 收的能量 ， 即能量释放率远大于能量吸收率 ，多余 的能量又将以应力波和振动的形式引发它周围的 岩体发生断裂失稳 ，导致失稳破坏的连锁反应 ，同 时由于顶板的部分已经断裂破坏 ，其整体抗压 、抗 拉和抗剪强度也随之降低 ， 这也将引起顶板的断裂 失稳 。 由于该物理过程发生在极短的时间内 ， 故对 外表现即为顶板的瞬间突然断裂 ， 断裂处紧贴煤体 且高速冲向下方煤体 ，如顶板坚硬 ，释放的能量足 够多 ， 煤层又具有一定的冲击倾向性 ，且断裂顶板 施加于煤体的能量又足以使煤体的应力超过极限 应力状态 ， 则煤体也随之发生爆破 ，顶板和煤体爆 破释放的能量将破碎的煤岩体高速抛向自由空间 ， 造成煤矿灾害 ， 即发生了冲击矿压 。 3 坚硬顶板断裂起动过程的突变理论分析 3 ． 1 突变理论简述 法国教授 Thom 在 １９７２ 年发表了关于突变理 论的著作 ， 他把各种现象归纳到不同类别的拓扑结 构 ， 其中的尖点突变模型可以用来描述坚硬顶板发 生断裂时的突变现象 。 其标准势函数为 V（ x） ＝ x ４ ＋ μx ２ ＋ υx（１） 式中 x 是状态变量 ，μ 和 υ 是控制变量 ，则临界点 ０９ ２００４ ．№ ４ 矿山压力与顶板管理 是方程 V′（ x） ＝ ０ 的解 。 方程 V′（ x） ＝ ０ 称为平衡 曲面 ， 用 M 表示 ， 它由 V 的全部临界点构成 ，即由 系统的全部平衡点包括稳定的和不稳定的平衡点 构成 。 M 是一个流形 ， 是一性态很好的光滑曲面 ， M 也称为突变流形 ， 平衡曲面由 V′（ x） ＝ ０ ， 即 ４ x ３ ＋ ２μx ＋ υ ＝ ０（２） 给出 ， 奇点集是满足方程 V″（ x） ＝ ０ ， 即 １２ x ２ ＋ ２μ ＝ ０（３） 的 M 的子集 ， 由（１） 、 （２）消去得到 ８μ ３ ＋ ２７υ ２ ＝ ０（４） 这就是分歧点集 。 画出曲面 ４ x ３ ＋ ２μx ＋ υ＝ ０ 的图 像 ， 如图 ３ 。 图 ３ 由方程 V′（x） ＝ ０ 确定的平衡曲面 M 设 P 是控制空间 μ － υ平面中的一个点 ，随着 控制变量 μ ，υ的变化 ， 这个点走出的一条路径叫做 控制轨迹 ， 同时相点（ x ，μ ，υ）沿着直接位于控制轨 迹上方的平衡曲面上的一条轨迹移动 。 当 P（μ，υ） 越过分歧点集 ８μ ３ ＋ ２７υ ２ ＝ ０ 时 ，如果相点恰好在 曲面回折形成中叶处的边缘上 ，则必定跳到另一 叶 ， 这引起 x 的突变 ，即相点（ x ，μ ，υ）由下叶越到 上叶或由上叶越到下叶 ， 相点在中叶是不稳定的 。 我们可以作如下考虑 ， 把顶板受到上方岩体的 压力和顶板自身的重力等因素看成动力影响因素 υ， 把顶板自身的某些物理特性看成阻力影响因素 μ ， 即令 μ 和 υ 为控制变量 ， 将顶板断裂时断裂口处 区域 的 位 移 看 成x ，令x 的 变 化 速 度vb vb＝ f（ x） 为状态变量 。 则可得到一个势函数 v （vb） ， 顶板断裂之前 ， 系统处于平衡态 ， 当顶板突然 断裂时 ，vb发生突变 ，因顶板断裂后短时间内上部 岩体与之发生分离或对其压力减小或能量释放等 原因 ， 所以动力随之减小 ，可认为动力影响因素 υ 发生变化 ， 导致动力减小 ，而阻力因素因为顶板的 状态发生改变而增大 ， 可认为阻力影响因素 μ 发生 变化 ， 然后系统进入另一个平衡态（ vb缓慢变化） ， 即系统经历稳定 突变 稳定的过程 。 基于以上 分析 ， 可尝试使用突变理论建立坚硬顶板断裂的突 变模型 。 3 ． 2 顶板断裂起动过程的力学模型 为了方便研究坚硬顶板断裂起动过程的突变 过程 ， 首先建立坚硬顶板的简易地质力学模型 ，坚 硬顶板受到垂直力和水平力的作用 ， 将高应力处的 图 ４ 坚硬顶板的力学模型 一段坚硬顶板简化为一简支梁 ，如图 ４ 所示 。 式 中 ， 顶板长 l ， 厚为 h ， 宽为 b， 弹性模量为 E ， 水平力 Ph作用于梁的两端 ， 垂直力 Pv作用于梁的中部 。 3 ． 3 顶板断裂起动过程的突变势函数 对图 ４ 进行力学分析 ， 得到系统的势能由三部 分组成 顶板的应变能 U１、 水平力 Ph所做的功 U２ 以及垂直力 Pv所做的功 U３， 其值分别为 U１＝ EI ２∫ １ ０ K（ x）dx（５） 其中 K 为顶板的曲率 。 U２＝ Phδ（６） δ ＝∫ １ ０ １ －１ － d f ds ２ ds（７） δ为顶板在水平方向的缩短量 。 垂直力 Pv所做的功可近似表示为 U３＝ PvX（８） 则系统的势函数 U 可近似表示为 U ＝ U１－ U２＋ U３ ＝ EIπ ６ １６l ５X ４ － π ２ ４l Ph－ EIπ ２ l ２X ２ ＋ PvX（９） 顶板断裂过程可分为孕育 、激发 、发展和终止 四个阶段 。 孕育阶段即是煤层开采过程中顶板应 力逐渐增大和聚积的弹性能逐渐增多的阶段 ； 激发 阶段是当顶板处于极限应力状态时受到某一扰动 而发生突然断裂的阶段 ； 发展阶段即是顶板从开始 断裂到断裂结束的阶段 ； 终止阶段是由于能量已经 释放顶板受到阻力而迫使断裂发展停止的阶段 。 现把阻力因素用参数 n 来表示 ， 动力因素用 m 来表示 。 由于顶板断裂过程的特征之一就是断裂 处的高速运动 ，故可取断裂处的位移 x 的变化速 度 vb（vb＝ f（ x））作为状态变量 。 若 vb缓慢变化 （可视为顶板的准静态破裂过程） ， 断裂将不会被起 动或断裂过程已停止 ；若 vb突然变化 ，则断裂起 动 ； 若在断裂的发展阶段 vb又缓慢变化 ， 断裂将会 终止 。 令 X ＝ l π ４ ６４l EIπ ２ vb （１０） １９矿山压力与顶板管理 ２００４ ．№ ４ n ＝ ２l π l EI Ph－ EIπ ２ l ２（１１） m ＝ l π ４ ６４l EIπ ２ Pv （１２） 得到描述坚硬顶板断裂起动过程的突变函数 U（vb） ＝ v ４ b－ nv ２ b＋ mvb（１３） 由上式看出 ， 断裂起动过程的突变属于尖点突 变类型 ， 见图 ５ 。 图中 ， 平衡曲面的下叶代表顶板的准静态破裂 状态 ， 上叶代表断裂的发展状态 。 平衡曲面 M 的 方程为 U′（vb） ＝ ４vb ３ － ２nvb＋ m ＝ ０（１４） 奇点集 S 方程为 U″（vb） ＝ １２ vb ２ － ２n ＝ ０（１５） 联立（１４）和（１５）两式消去 vb， 得到分歧点集 B 为 ８n ３ － ２７m ２ ＝ ０（１６） 3 ． 4 顶板断裂过程的突变条件 图 ５ 中 、 分别代表控制断裂起动与发展的动力 和阻力因素 。 断裂从起动到发展的过程就是从下 叶到上叶的跃迁过程 ， 从上叶到下叶则是断裂的终 止过程 。 图中分歧点集的左支线为断裂过程的临界起 动条件 ， 而分歧点集的右支线为断裂的临界终止条 件 。 图 ５ 控制参数变化示意图 P 为控制参数（ m ，n）变化轨迹 ；P′为 vb的变化轨迹 当应力条件具备 ，即动力因素 m 大于某一值 m０， 当阻力因素 n 变小时 ，并且当控制参数（m ，n） 进入分歧点集中并越过临界起动支线时 ，vb值将 突然增大并跃至上叶（图 ５a） ，即顶板突然断裂 ，在 断裂发展过程中阻力因素 n 变大而返回临界起动 支线时 ， 断裂活动并未停止 ，因为 vb又将突然变 小 ， 即从上叶跃至下叶（图 ５b） ， 只有达到临界终止 条件 ， 即 vb到达下叶（值很小且变化缓慢）时 ， 断裂 活动才会停止 ； 或者因断裂过程中应力等减小使动 力因素 m 小于 m０，以至于控制参数（m ，n）由尖点 曲线外从上叶返回下叶 ， 断裂也会渐停 。 当断裂停 止时 ， 由于顶板和煤体内的应力减小（如顶板断裂 后与上方岩层产生分层 ， 导致顶板和煤体所承受的 压力变小）和储存的弹性能被大量的释放（ m 减 小） ， 不可能出现与起动条件完全相同时终止的情 形 ， 也就是说如某处发生了一次较大的冲击矿压 ， 已将顶板和煤体冲击得相当破碎 ， 那么此处不可能 再次发生和前次具有同样强度的冲击 ， 除非两次冲 击的间隔时间特长（如经过漫长的地质年代 ，破碎 的顶板和煤体经过缓慢的蠕变重新形成新的坚硬 顶板和实煤体） ， 但这种情况不具有实际意义 ， 故不 作讨论 。 当控制参数（m ，n）在分歧点集以外变化 时（图 ５c 中 p） ，m 较小 ，此种情况是应力较小 ，坚 硬顶板已经破碎 ，不可能再聚集大量的弹性能 ，故 不易激发断裂 。 只能以很低的值保持在下叶而不 大可能跃至上叶 ， 顶板和煤体状态仅表现为蠕动变 形或破坏后向自由空间的微小移动 。 我们知道 ， 当控制参数（m ，n）位于分歧点集时 （图 ５c） ， 即相点 P 处在中叶时 ，系统是不稳定的 ， 此时若有一扰动引起 m 值的增大 ，就会导致 vb值 的突然增大 ， 这就解释了当坚硬顶板和煤体处于极 限应力状态下（控制参数（ m ，n）位于分歧点集 B 中） ， 回采活动产生的扰动很易导致坚硬顶板的突 然断裂 ， 从而引发冲击矿压 ，故处于极限应力状态 的顶板和煤体是最危险的 。 实际上 ，在回采过程 中 ， 总不可避免的要产生扰动 ，为了不引发冲击矿 压 ， 应尽量控制顶板和煤体 ，使其不处于极限应力 状态 。 3 ． 5 突变理论对防治由坚硬顶板断裂引发冲击矿 压的机理解释 通过以上分析可知 ， 只有当控制参数（m ，n）位 于分歧点集 B 时 ， 断裂才有可能起动 ，为了防治坚 硬顶板断裂引发冲击矿压 ， 应该将控制参数（m ，n） 控制在分歧点集以外 。（下转第 ７２ 页） ２９ ２００４ ．№ ４ 矿山压力与顶板管理