第二章.点、直线、平面的投影.ppt

第2章点、直线、平面的投影,2.1投影法及其分类,2.2点的投影,2.3直线的投影,2.4平面的投影,2.5直线与平面及两平面的相对位置,本章小结,结束放映,平行投影法,中心投影法,,,,2.1投影法及其分类,投影法,投射线,物体,投影面,投影,投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法投影法。,投射中心,斜投影法,正投影法,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。,投影特性,,物体位置改变，投影大小也改变。,,平行投影法,投影特性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。,工程图样多数采用正投影法绘制。,投影法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,,,结束,继续,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,,a,●,2.2点的投影,二、点的三面投影,投影面,◆正面投影面（简称正面或V面）,◆水平投影面（简称水平面或H面）,◆侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴V面与H面的交线,OZ轴V面与W面的交线,OY轴H面与W面的交线,,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,注意空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,,,,,,,,,,,,,,,,,●,●,●,●,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,,,,,,,,,,,,,,●,●,,●,●,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律,①aa⊥OX轴,②aax,aax,aay,a,y,,,,,,,●,●,Y,Z,az,,,a,X,Y,ay,O,a,ax,ay,a,●,aa⊥OZ轴,y,Aa（A到V面的距离）,aaz,x,Aa（A到W面的距离）,aay,z,Aa（A到H面的距离）,,,,aaz,,,,例已知点的两个投影，求第三投影。,,,●,●,,,a,a,ax,az,az,解法一,通过作45线使aazaax,解法二,用圆规直接量取aazaax,,,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法,▲x坐标大的在左,▲y坐标大的在前,▲z坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,,b,,,,,,,a,a,a,b,b,X,Y,Y,Z,o,,ac,c,,,重影点,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,●,●,●,●,●,,,,a,a,c,,被挡住的投影加,A、C为H面的重影点,结束,继续,,,,2.3直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,⒈直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性,直线平行于投影面投影反映线段实长abAB,,直线倾斜于投影面投影比空间线段短abAB.cos,⒉直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于Ｖ面）,侧平线（平行于Ｗ面）,水平线（平行于Ｈ面）,正垂线（垂直于Ｖ面）,侧垂线（垂直于Ｗ面）,铅垂线（垂直于Ｈ面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,,,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置,⑴投影面平行线,γ,,β,,X,Z,″,水平线,实长,①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。,②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。,投影特性,判断下列直线是什么位置的直线,侧平线,正平线,与H面的夹角与V面的角β与W面的夹角γ,实长,,,β,,实长,,γ,,,直线与投影面夹角的表示法,反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,⑵投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,②另外两个投影，,①在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性,⑶一般位置直线,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性,二、直线与点的相对位置,◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。,◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即,ACCBaccbaccbaccb,定比定理,例1判断点C是否在线段AB上。,在,不在,,a,b,,,,,,,,,,,不在,应用定比定理,例2已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一（应用第三投影）,解法二（应用定比定理）,,,,,,,,,,,a,b,,,,,,●,,●,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为平行、相交、交叉（异面）。,⒈两直线平行,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,例判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,,⒉两直线相交,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。,交点是两直线的共有点,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,,,●,c,,d,k,,k,,d,,例1过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,′,,,,,,,,,例2判断直线AB、CD的相对位置。,c,′,d,a,b,c,d,相交吗,不相交,为什么,交点不符合空间一个点的投影特性。,判断方法,⒈应用定比定理,⒉利用侧面投影,⒊两直线交叉,为什么,两直线相交吗,不相交,交点不符合一个点的投影规律,,12,●,,投影特性,★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,结束,继续,,,,2.4平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,,,直线及线外一点,,,两平行直线,,两相交直线,,平面图形,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性,⒈平面对一个投影面的投影特性,,,,⒉平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,,c,c,,,⑴投影面垂直面,为什么,,,,,,,a,b,c,a,b,b,a,,,,,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,γ,β,,,,,投影特性,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,⑵投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,,⑶一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性,,,a,c,b,c,a,,,,,,,,,●,a,b,c,b,,,,,,,,,,,,,,例正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。,思考此题有几个解,三、平面上的直线和点,位于平面上的直线应满足的条件,⒈平面上取任意直线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,,,,,d,,,,,例1已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,有无数解,例2在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,,n,m,n,m,,,,c,a,b,c,a,b,,,,,,,,,,,,唯一解,⒉平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,首先面上取线,,,,d,d,,,,,,,,,b,,c,,k,,,,,,,,,a,d,a,d,b,c,,,k,,,b,,,,例2已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,,,,d,e,例3在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。,结束,继续,2.5直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,⒈直线与平面平行,,,,,,,,,,,,,,,,●,●,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例1过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,,,d,d,,,,正平线,例2过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,唯一解,,,,,c,,,,,,,,,,●,●,b,a,m,a,b,c,m,,,,n,d,d,⒉两平面平行,①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,,,由于ek不平行于ac,故两平面不平行。,例判断平面ABDC与平面EFHM是否平行,已知AB∥CD∥EF∥MH,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,二、相交问题,⒈直线与平面相交,要讨论的问题,●求直线与平面的交点。,,●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,例求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,①求交点,②判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,作图,,,用线上取点法,,,12,●,,12,,k,mn,,,b,,,,●,,,,,,,,,,,m,n,c,b,a,a,c,,,⑵直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,①求交点,②判别可见性,点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。,,作图,用面上取点法,,●,⒉两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题,⑴求两平面的交线,方法,①确定两平面的两个共有点。,②确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,⑵判别两平面之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,mn,,空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。,①求交线,②判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,●,能,如何判别,例求两平面的交线MN并判别可见性。,⑴,,,,O,X,,,,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,,,,,,,,,,mn,●,例求两平面的交线MN并判别可见性。,⑴,①求交线,②判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,,,,空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。,O,X,,,,空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。,①求交线,②判别可见性,点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc可见。,作图,⑵,,●,,,,,,,,,,,,,,,a,b,de,e′,b′,d′,hf,c,f′,c′,h′,,,空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。,①求交线,②判别可见性,点Ⅰ在MC上,点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc可见。,作图,⑵,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,c,d,e,f,a,b,,a,b,c,d,e,f,,,,,,⑶,投影分析,N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。,,,,,,,互交,,,,,,,,,,,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,,,⑶,互交,,,,,,,投影分析,N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。,结束,继续,,小结,★点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性。,重点掌握,★点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。,一、直线上的点,⒈点的投影在直线的同名投影上。,⒉点的投影必分线段的投影成定比定比定理。,⒊判断方法,,二、两直线的相对位置,⒈平行,同名投影互相平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,⒉相交,⒊交叉（异面）,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,三、点与平面的相对位置,面上取点的方法,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,四、直线与平面的相对位置,⒈直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。,⒉直线与平面相交,⑵投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。,⑴一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性，采用直线上取点的方法求解。,五、两平面的相对位置,⒈两平面平行,⑴若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,⑵若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,⒉两平面相交,⑴两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。,⑵一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。,END,