电路的基本概念 (9).doc

电工基础 第九章 相量法 1．了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。 2．掌握正弦量的复数表示法，以及复数相量形式的欧姆定律。 3．掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。 1．掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。 2．掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。 序号 内 容 学 时 1 第一节 复数的概念 1 2 第二节 复数的四则运算 1 3 第三节 正弦量的复数表示法 1 4 第四节 复数形式的欧姆定律 2 5 第五节 复阻抗的连接 2 6 本章小结与习题 1 7 本章总学时 8 第一节 复数的概念 图9-1 在复平面上表示复数 一、虚数单位 参见图9-1给出的直角坐标系复数平面。在这个 复数平面上定义虚数单位为 即 j2 -1，j3 - j，j4 1 虚数单位j又叫做90旋转因子。 二、复数的表达式 一个复数Z有以下四种表达式。 1．直角坐标式代数式 Z a jb 式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。 在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数A 3 j2在复平面上的表示如图9-1所示。 2．三角函数式 在图9-1中，复数Z与x轴的夹角为 q，因此可以写成 Z a jb |Z|cosq jsinq 式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即 q 叫作复数Z的辐角，从图9-1中可以看出 复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。 3．指数式 利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即 Z |Z|cosq jsinq |Z|ejq 4．极坐标式相量式 复数的指数式还可以改写成极坐标式，即 Z |Z|/q 以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。 【例9-1】将下列复数改写成极坐标式 1 Z1 2；2 Z2 j5；3 Z 3 -j9；4 Z4 -10；5 Z 5 3 j4；6 Z6 8 - j6；7 Z7 - 6 j8；8 Z8 - 8 - j6。 解利用关系式Z a jb |Z|/q ，|Z|，q arctan，计算如下 1 Z1 2 2/0 2 Z2 j5 5/90 j代表90旋转因子，即将“5”作反时针旋转90 3 Z3 - j9 9/-90 －j代表－90旋转因子，即将“9”作顺时针旋转90 4 Z4 -10 10/180或10/-180 “-”号代表 180 5 Z5 3 j4 5/53.1 6 Z6 8 - j6 10/-36.9 7 Z7 - 6 j8 - 6 - j8 -10/- 53.1 10/180- 53.1 10/126.9 8 Z8 - 8 - j6 - 8 j6 - 10/36.9 10/-180 36.9 10/-143.1。 【例9-2】将下列复数改写成代数式直角坐标式 1 Z1 20/53.1；2 Z2 10/- 36.9；3 Z3 50/120；4 Z4 8/- 120。 解利用关系式Z |Z|/q |Z|cosq jsinq a jb计算 1 Z1 20/53.1 20cos53.1 jsin53.1 200.6 j0.8 12 j16 2 Z2 10/-36.9 10cos36.9 - jsin36.9 100.8 -j0.6 8 - j6 3 Z3 50/120 50cos120 jsin120 50- 0.5 j0.866 - 25 j43.3 4 Z4 8/- 120 8cos120 - jsin120 8- 0.5 - j0.866 - 4 - j6.928 第二节 复数的四则运算 设Z1 a jb |Z1|/a ，Z2 c jd |Z2|/b ，复数的运算规则为 1．加减法 Z1 Z2 a c jb d 2．乘法 Z1 Z2 |Z1| |Z2|/a b 3．除法 /a - b 4．乘方 /na 【例9-3】已知 Z1 8 - j6， Z2 3 j4。试求1 Z1 Z2；2 Z1 - Z2；3 Z1 Z2；4 Z1 / Z2。 解1 Z1 Z2 8 - j6 3 j4 11 - j2 11.18/-10.3 2 Z1 - Z2 8 - j6 - 3 j4 5 - j10 11.18/- 63.4 3 Z1 Z2 10/- 36.9 5/53.1 50/16.2 4 Z1 / Z2 10/- 36.9 5/53.1 2/- 90 第三节 正弦量的复数表示法 正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。 正弦电流i Imsinw t ji的相量表达式为 I/ji 正弦电压u Umsinw t ju的相量表达式为 U/ju 【例9-4】把正弦量u 311sin314t 30 V， i 4.24sin314t - 45 A用相量表示。 解1 正弦电压u的有效值为U 0.7071 311 220 V，初相 ju 30，所以它的相量为 U/ju 220/30 V 2 正弦电流i的有效值为I 0.7071 4.24 3 A，初相ji -45，所以它的相量为 II/ji 3/-45 A 【例9-5】 把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达式表示，设角频率均为w 1 120/-37 V ； 2 5/60 A 。 解 u sinw t - 37 V，i 5sinw t 60 A 。 【例9-6】已知 i1 sinw t 30 A， i2 sinw t - 60 A。 试求i1 i2。 解 首先用复数相量表示正弦量i1、i2，即 3/30 A 3cos30 jsin30 2.598 j1.5 A 4/-60 A 4cos60 - jsin60 2 - j3.464 A 然后作复数加法4.598 - j1.964 5/-23.1 A 最后将结果还原成正弦量i1 i2 sinw t - 23.1 A 第四节 复数形式的欧姆定律 一、复数形式的欧姆定律 定义复阻抗为 |Z|/j 其中为阻抗大小，j ju - ji为阻抗角，即电压u与电流i的相位差。则复数形式的欧姆定律为 图9-2 复数形式的欧姆定律 图9-2所示为复数形式的欧姆定律的示意图。 二、电阻、电感和电容的复阻抗 1．电阻R的复阻抗 ZR R R/ 0 2．电感L的复阻抗 ZL XL/ 90 jXL jwL 3．电容C的复阻抗 ZC XC/-90 -j XC 第五节 复阻抗的连接 一、阻抗的串联 图9-3 阻抗串联电路 如图9-3所示阻抗串联电路。 n个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗 Z Z1 Z2 Zn 例如R-L-C串联电路可以等效一只阻抗Z，根据ZR R， ZL jXL，ZC -jXC，则 即 Z |Z|/j 其中电抗X XL - XC，阻抗大小为 j 为阻抗角，代表路端电压u与电流i的相位差，即 【例9-7】 在R-L串联电路中，已知R 3 W， L 12.7 mH，设外加工频电压 sin314t 30 V。 试求电阻和电感上的电压瞬时值uR、uL。 解等效复阻抗Z ZR ZL R jXL R jwL 3 j4 5/53.1 W，其中XL 4 W， 正弦交流电压u的相量为220/30 V， 电路中电流相量为 /30－53.1 44/-23.1 A 电阻上的电压相量和瞬时值分别为 132/-23.1 V， sin314t - 23.1 V 电感上的电压相量和瞬时值分别为 176/90 - 23.1 176/66.9 V， sin314t 66.9 V 二、阻抗的并联 阻抗并联电路如图9-4所示。 图9-4 阻抗并联电路 n只阻抗Z1、Z2、、Zn并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即 即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。 为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即 导纳Y的单位为西门子S。于是有 Y Y1 Y2 Yn 即几只并联导纳的等效导纳Y等于所有导纳之和。 欧姆定律的相量形式为 【例9-8】两个复阻抗分别是Z1 10 j20 W，Z2 10 - j10 W，并联后接在的交流电源 上，试求电路中的总电流I和它的瞬时值表达式i。 解由Z1 10 j20 W 可得 由Z2 10 - j10 W 可得 即 Z1 10 j20 22.36/63.4 W， Z2 10 - j10 14.14/-45 W 由可得并联后的等效复阻抗为 于是总电流的相量 即I 15.6 A。总电流瞬时值表达式为 本 章 小 结 本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。 一、复数及其运算法则 1．复数的表达式 1 直角坐标式代数式 Z a jb 2 三角函数式 3 指数式 Z |Z|ejq 4 极坐标式相量式 Z |Z|/q 2．复数的运算法则 设 Z1 a jb |Z1|/a ，Z2 c jd |Z1|/b 1 加减法 Z1 Z2 a c jb d 2 乘法 Z1 Z2 |Z1|/a |Z2|/b |Z1||Z2|/a b 3 除法 /a - b 4 乘方 /na 二、正弦量的复数表示法 正弦交流电流i Imsinw t ji的相量表达式为 I/ji 正弦交流电压u Umsinw t ju的相量表达式为 U/ju 三、欧姆定律与复阻抗 1．复数形式的欧姆定律 2. 电阻R的复阻抗 ZR R R/0 3. 电感L的复阻抗 ZL XL/90 j XL jwL 4. 电容C的复阻抗 ZC XC/-90 -j XC 5. 阻抗的串联 n个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗 Z Z1 Z2 Zn 6. 阻抗的并联 n只阻抗Z1、Z2、、Zn并联可以等效为一只复阻抗Z 定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即，于是 Y Y1 Y2 Yn 98