索-梁组合结构非线性时滞减振研究_彭剑.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 7 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．7 2020 基金项目国家重点基础研究发展计划 973 计划 2015CB057701; 2015CB057702 ; 国家自然科学基金 11402085; 51808085 ; 湖南省 教育厅资助科研项目 19B192 收稿日期 2019 －03 －27修改稿收到日期 2019 －06 －29 第一作者 彭剑 男， 博士， 副教授， 1982 年生 索-梁组合结构非线性时滞减振研究 彭剑1，向明姣1，禹见达1，孙洪鑫1，孙测世2 1． 湖南科技大学 结构抗风与振动控制湖南省重点实验室， 湖南 湘潭411201; 2． 重庆交通大学 土木工程学院， 重庆400074 摘 要 采用时滞减振技术对索- 梁组合结构进行了振动控制分析。通过 Hamilton 原理建立了索- 梁组合结构的 运动控制方程， 引入时滞减振技术， 应用多尺度摄动方法得到了主共振和 1/3 亚谐波共振的解的近似表达式。结果表明， 时滞减振技术的两个主要参数时滞和控制增益能有效调节阻尼和频率。通过调节控制增益和时滞值， 可增大阻尼比， 避 免共振域， 从而对索- 梁组合结构实现减振。 关键词 索- 梁结构; 振动控制; 时滞; 非线性响应 中图分类号 U443． 38文献标志码 ADOI10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 07． 012 Nonlinear time delay vibration reduction technique for cable- beam composite structures PENG Jian1，XIANG Mingjiao1，YU Jianda1，SUN Hongxin1，SUN Ceshi2 1． Hunan Provincial Key Laboratory of Structures for Wind Resistance and Vibration Control，Hunan University of Science and Technology，Xiangtan 411201， China; 2． College of Civil Engineering，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China AbstractHere，the time- delay vibration reduction technique was used to do vibration control analysis for cable- beam composite structures． The dynamic governing equations for a cable- beam composite structure were established with Hamilton principle． The time- delay vibration reduction technique was introduced，and the multi- scale perturbation was used to solve the dynamic governing equations，and obtain the approximate solution expressions to primary resonance and 1/3 subharmonic resonance． The results showed that two main parameters of the time- delay vibration reduction technique including time delay and control gain can be used to effectively adjust the system’ s damping and frequency; through adjusting control gain and time- delay value， the system’ s damping ratio can be increased， resonance fields can be avoided，and cable- beam composite structures’vibration reduction can be realized． Key words cable- beam composite structure; vibration control; time delay; nonlinear response 大跨结构中通常包括索和梁两种基本结构单元， 索和梁通过一定的连接方式组成不同形式的新型结构 体系， 构成索- 梁组合结构。这种结构随着跨度的增大， 具有相当的柔性， 整个结构体系在承载非常大的荷载 情况下， 能量在不同的结构单元之间相互转换， 从而激 发整个结构的大幅振动 ［1 ］。显然， 这类结构中的大幅 振动控制已逐渐成为亟待解决的关键问题之一。 近年来， 学者们对索、 梁及索- 梁组合结构振动控制 开展了研究。利用磁流变阻尼器和电流变阻尼器对拉 索进行半主动控制已经开展了很多深入的理论和实验 研究 ［2 ］。Zhou 等［3 ］对支承运动作用的拉索振动控制 进行了研究， 然而此项研究忽略了索梁动力耦合对 MR 阻尼器减振效果的影响［4 ］。Fujino 等 ［5 ］、 Wang 等［6 ］从 主动刚度控制对索进行了研究。此外， 这些研究很少 涉及受控拉索的非线性动力学研究。最近， Susumpow 等 ［7 ］考虑到在小幅振动范围内， 拉索的横向振动与纵 向振动相互耦合， 因此成功利用拉索在支座附近的纵 向振动对拉索的横向振动实施了减振。理论上， 可以 直接借鉴这种主动控制理论中的制动器用来控制支承 运动作用下的拉索大幅振动。Magana 等 ［8 ］则从非线性 局部控制出发研究了柔性索- 梁结构的振动问题。丛云 跃等 ［9 ］对 CFRP 索斜拉桥面内自由振动的多索梁模型 及模态进行了分析。 然而， 采用了振动控制技术后， 时滞问题不可避 免。已有研究分别从时滞受控系统的稳定性， 时滞补 偿等方面进行了探讨。Cha 等 ［10 ］基于半主动控制策 略， 开展了时滞影响下 200 kN 的 MR 阻尼器的鲁棒性 ChaoXing 研究。Abdel- Rohman 等 ［11 ］研究了风雨激励作用下悬 索桥半主动控制中的时滞问题， 并对比了两种时滞补 偿方法。另一方面， 时滞反馈控制在柔性索/梁中的理 论和试验研究也取得一些成果。L 等 ［12 ］研究了直接 速度反馈控制器作用下轴向行进弦及索的局部动力学 行为。齐欢欢等 ［13 ］采用时滞主动控制方法对输液管道 的颤振失稳进行控制研究。Nayfeh 等 ［14 ］采用时滞反馈 控制技术已经成功应用于路基和船基大型龙门吊， 其 吊放定位精度达到 50 mm， 效率比传统的提高 50。 陈龙祥等 ［15 ］通过试验研究了不同时滞作用下的柔性梁 振动控制问题。彭剑等 ［16 ］对时滞影响下 MR 阻尼器- 斜拉索控制系统中的主共振开展了研究。 因此， 本文采用时滞吸振技术对索- 梁组合结构进 行减振研究。基于 Hamilton 原理， 建立了索- 梁组合结 构面内运动非线性方程， 进而利用时滞减振技术对索- 梁组合结构的大幅振动进行减振， 通过调节时滞和控 制增益控制参数来研究时滞反馈控制系统的动力学响 应， 为控制设计提供理论依据。 1数学模型 如图 1 所示的索- 梁组合结构受控系统。索、 梁端 的锚固端记为 A、 B， 连接处记为 C， D 点和 E 点分别为 时滞反馈控制系统中的传感器布点和作动器布点位 置， 作动器距离连接处距离为 a。索的参照系以连接处 为坐标原点， 建立如图所示的 0 － XcYc坐标系。梁的参 照系以锚固点 B 为原点， 坐标系 0 － XbYb如图所示。d 表示斜拉索的垂度， lc和 lb分别表示索长和梁长。Uc 和 Vc、 Vb分别表示索和梁在各自坐标系下的轴向和面 内位移。另外， 假设如下 索和梁的应力应变满足胡克 定律， 且各点受力均匀， 索只承受拉力; 忽略索的抗弯 刚度、 抗扭刚度及抗剪刚度; 忽略梁的轴向位移， 不计 梁的非线性。索的静态构形为 y 4d［xc/lc－ xc/ lc 2］ ， 索的轴向应变 ε c和梁的应变 εb分别为 εc Uc ycVc V2 c 2 ，ε b Ub V2 b 2 1 式中 εc和 εb为关于 x 和 t 的函数， c为对 x 求导。 根据 Hamilton 原理 δ∫ t2 t1 T － U dt ∫ t2 t1δWdt 0 2 式中 T 是索- 梁组合结构的动能， U 是索- 梁组合结构 的应变能， δW 是势能和非保守力做功的变化总和。 T Tcable Tbeam∫ lc 0 1 2 mc U 2 c V 2 c dxc ∫ lb 0 1 2 mb U 2 b V 2 b dxb 3 图 1索- 梁组合结构振动控制简化模型 Fig． 1The model of vibration control of cable- stayed beam U Ucable Ubeam U I cable ∫ lc 0 Hε c 1 2 EcAcε2 c dxc U I beam 1 2 ∫ lb 0 EbIbV″2 b dxb∫ lb 0 Nε b 1 2 EbAbε2 b dxb 4 δW ∫ lc 0 mcgsin θδUc mcgcos θδVc－ ccuU c δU c － ccvV c δV c Fc xc， t δVc Fu xc， t δ x － a δVc Gc xc， t δWc dxc∫ lb 0 mbgδVb－ cbuU b δU b － cbvV b δV b Fb xb， t δVb Gb xb， t δWb dxb 5 式中 mc、 mb分别为索和梁的单位长度质量; ccu、 ccv为 拉索在单位长度方向上的黏性阻尼系数; cbu、 cbv为梁在 单位长度方向上的黏性阻尼系数; H， N 分别为索和梁 的初始轴力; Ec， Eb分别为索和梁的弹性模量; Ac， Ab为 索和梁的横截面面积; Ib为梁的横截面惯性矩; θ 为拉 索的倾斜角; g 为重力加速度; Fb， c xb， c， t 和 Gb， c xb， c， t 为外力; Fu xc， t 为控制力; δ x － a 为狄利克雷函 数。将方程 3 ～ 5 代入方程 2 ， 并引入边界条件 和连续条件。 边界条件 Uc xc， t xc0 Vc xc， t xc0 0 6 Ub xb， t xb0 Vb xb， t xb0 0， Vb xb， t xb0 0 7 连续条件 Uc lc， t cos θ － Vc lc， t sin θ Ub lb， t 8 Uc lc， t sin θ Vc lc， t cos θ Vb lb， t 9 V″ b lb， t 0 10 H EcAcεc [ sin θ cos θ Vb lb yb lb lc － V b lb － yb lb ] － EbIb y b lb， t － EbIb V b lb， t 0 11 则得到 28振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing mcV c ccvV c － HV″ c － EcAc y″ c V″ c[ Vb lb， t lc sin θ 1 lc∫ lc 0 y cVc V2 c 2 dx ]c Fc xc， t Fuδ x － a 12 mbV b cbvV b － Hcos θV″ b EbIbV b － EbAb lb V″ b∫ lb 0 V2 b 2 dxb Fb xb， t 13 引入下列无量纲参数和变量 x* i xi li ，ui Ui li ，vi Vi li ，c* ij cijlc mi mc 槡 H ， fi Fi mili mcl2 c H ，gi Gi mili mcl2 c H ，y* c yc lc ， f b lc ，t* t lc H m 槡c ，P mc mb 1 cos θ，α EcAc H ， Γ EbAb mbl2 b mcl2 c H ，m mc mb，χ Ibzz Ibyy，β EbIbyyl2 cmc Hl4 bmb 14 得到面内的运动方程为 v c ccvv c － v″ c － α y″ c v″ c[ vb 1， t sin θcos θ ∫ 1 0 ycvc v2 c 2 dx ]c fc fuδ x － a 15 v b cbvv b － Pv″ b βv b － Γv″ b∫ 1 0 v2 b 2 dxb fb 16 c表示对 t 求导。fu Kv t － τ 为控制函数， 采用时 滞位移反馈控制。采用 Galerkin 方法离散时滞微分方 程组， 设 vc x， t∑ ∞ i 1 ci x qi t ， vb x， t∑ ∞ i 1 b x qi t 17 式中 qi t 为整体的第 i 阶模态振动函数， ci x ， bi x 分别为索和梁的振型函数， 其表达式如下 ［17 ］ ci xc C α 2 i β 2 i sin 2θ αicos αisinh βi － β isin αicosh βi 16f2tan ωi 2 － ω i ω3i λ 2 αiβi α isin αi β isinh βi { [ 4farctan θ ωi－ 2tan ωi 2 － ω ] i ［ cos ωixc－ ω 2 i］ 2ω icsc ω[i 4fcos2 ωi 2 － ω2i λ2 － sin ωi ω i sin2 ωi 2 tan ] θsin ωix } c ，ω i≠ 2iπ， ci xc Csin ωixc ，ω i 2iπ 18 bi xb [ Ccos αixb－ cosh βixb－ α2icos αi β 2 icosh βi αisin αi β icosh βi sin αixb αi － sinh βixb β ] i ，ω i≠2iπ， bi xb 0，ωi 2iπ 19 将方程 17 代入方程 15 ～ 16 ， 可得时滞微分方程 如下 q n t μnq n t ω 2 nqn t ∑ ∞ i， j Λnijqiqj ∑ ∞ i， j， k 1Γ nijkqi t qj t qk t fncos Ωt － knqn t － τ 20 其中 Γnijk 1 2m k αy c， xc， xc∫ 1 0ckdxc∫ 1 0ci， xccj， xcdxc 2αbj 1 sin θcos θ∫ 1 0cmci， xc， xcdxc ， Λnijk 1 2m k α∫ 1 0ckci， xc， xcdxc∫ 1 0cj， xcch， xcdxc JΓ ∫ 1 0bkbi， xb， xbdxc ， μk 1 2mk ccv∫ 1 0 2 kcdxc Jcbv2 kbdxb ， fk 1 2mk fc∫ 1 0kcdxc Jfbkbdx b ， mk∫ 1 0 2 kc xc dxc J∫ 1 0 2 kb xb dxb，J mbl3 b mcl3 c 。 2共振响应分析 2． 1主共振分析 本节采用多尺度法求解受控系统的主共振解， 设 方程 20 的解的形式如下 qn t; ε qn0 T0， T1， T2 εqn1 T0， T1， T2 ε2qn2 T0， T1， T2 Ο ε3 21 式中 Ti ε it， i 0， 1 ， 因此， 在主共振情况下， 调整 阻尼项， 非线性项及外激励项的系数， 即 μn Ο ε2 ， Λnnn Ο ε ， Γnnnn Ο ε2 ， kn Ο ε2 ， Fn Ο ε2 ， Ω 1 ε2σ， σ Ο 1 ， 式中 ε 0 ＜ ε≤1 为小参数， σ 为调谐参数。 将方程 21 代入方程 20 ， 依次消除久期项， 则可 得主共振的幅频响应方程 F2 n 4 1 4 μ2ea2nσe 5 12Λnnna 2 n － 3 8 Γnnnna2 n 2 a2 n 22 式中 μe μ n－ knsin τ， σe σ － kncos τ/2， an是 T2的实 函数。进一步可得主共振响应幅值的峰值为 ap Fn μn－ knsin τ 23 相应的临界激励幅值为 fcrit 2μ 3 e 3 4 Γnnnn－ 5 6 Λ 槡 nnn 24 38第 7 期彭剑等 索- 梁组合结构非线性时滞减振研究 ChaoXing 2． 21/3 亚谐共振分析 同理可得受迫激励下系统 1/3 次亚谐共振， 此时 设 Ω 3ωn εσ， 可得 1/3 次亚谐共振的频响分岔 方程 3μea 2 [ σe－ 9ΓG2 ωn 18G2Λ2 5ω 3 n 5Λ 2 4ω 3 n － 9Γ 8ω n a ] 2 2 a2 9a2W2 25 其中 μe 1 2 μ 1 2 knsin τωn ωn ， σ e σ － 3kncos τωn ωn 26 W 1 ωn Λ2G 2ω 2 n 3ΓG 4 ， G f 2 ω2n－ Ω 2 27 3数值分析与讨论 本节对受控索- 梁结构第一阶模态的主共振和 1/3 亚谐共振响应进行数值分析， 讨论时滞减振技术对索- 梁组合结构减振效果。其中梁及索的几何尺寸和材料 特性参数如下。梁 线重 mb 1． 6 104kg/m， 惯性矩 Ib2． 4 m4长度 lb30 m， 弹性模量 Eb35 GPa。索 线重 mc 62 kg/m， 长度 lc 95． 82 m， 弹性模量 E c 200 GPa， 截面积 Ac7． 6 10 －3 m2， 倾角 θ 18． 25， 索 力 H 4． 49 103kN。 图 2 给出的主共振响应的峰值曲线和临界力曲 线， 当时滞 τ∈ kπ， kπ π/2 ， k 0， 1， 区间， 响应幅 值随着增大而减小， 且增长速率明显高于时滞值增长 速率。临界力曲线与峰值曲线趋势相反。 图 2时滞影响下主共振响应峰值和临界激励幅值曲线 Fig． 2The curves of the peak amplitude and critical excited amplitude of the primary resonance response of with time delay 接下来的参数根据图 2 中给出的曲线选取， 对一 个周期中的几个参数的影响进行对比。选取 f1 0． 003， μ10． 02， 图 3 给出了当控制增益 k1 0． 3 时不 同时滞值情况下索- 梁组合结构第一模态主共振响应的 幅频曲线。可以看出， 随着时滞的增大， 响应幅值先减 小后增大。同时， 随着时滞值增大， 幅频响应曲线弯曲 程度减弱。同时可以发现， 不同的时滞值对应幅频曲 线存在多值区域和跳跃现象。 图 3不同时滞值时受控索- 梁结构主共振响应幅频曲线 Fig． 3The amplitude- frequency curves of the primary resonance response of cable- stayed beam with time delay 图 4 给出了不同时滞值和调谐参数值时系统第一 阶模态的响应幅值- 激励幅值曲线， 这些曲线直接由方 程 20 得到， 幅值为无量纲结果。注意到， 随着调谐参 数的变化， 曲线有单值和多值的， 随着调谐参数值的增 大即激励频率的增大， 出现了单值到多值的转换， 同时 可以发现， 随着时滞增大， 响应幅值相应增大， 曲线弯 曲程度增强。 图 4时滞作用下主共振响应幅值- 激励幅值曲线 Fig． 4The response- excitation amplitude curve of the primary resonance with time delay 图 5 给出了无控和受控作用下系统时程曲线。可 以看出， 当采用时滞减振技术后， 幅值显著减小， 并且 随着控制增益的增大， 幅值逐渐减小。图 6 给出了不 同控制增益下亚谐波共振的幅频响应曲线。注意到， 在亚谐波情形下， 不存在跳跃现象。图中可以看出， 随 着 k1值的增大， 共振区明显减小。 48振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing a 无控 b k10． 1 c k10． 3 图 5不同控制增益作用下主共振响应时程曲线 Fig． 5The time history curve of the primary resonance with feedback 图 6系统亚谐波共振响应幅频曲线 Fig． 6The amplitude- frequency curves of subharmonic resonance response 4结论 本文采用多尺度摄动方法对时滞减振技术作用下 的索- 梁组合结构振动控制进行了研究。获得了简谐激 励下， 不同控制增益、 时滞值对索- 梁组合结构非线性主 共振、 1/3 亚谐波共振的影响规律， 主要结论如下 主共 振响应峰值和临界激励力随时滞增大出现周期性变 化， 采用时滞减振技术， 时滞值等于 kπ 邻域附近值应 避开。控制增益值的增大可以达到很好的振动控制效 果。通过调节控制增益和时滞值， 可以避开共振域， 频 响范围更大。 参 考 文 献 ［1］ GATTULLI V，MORANDINI M，PAOLONE A． A parametric analytical model for nonlinear dynamics in cable- stayed beam ［J］ ．Earthquake Engineering and Structural Dynamics， 2002， 31 1281- 1300． ［2］ 王修勇， 陈政清， 倪一清， 等． 斜拉桥拉索磁流变阻尼器减 振技术研究［ J］ ． 中国公路学报， 2003， 16 3 52- 56． WANG Xiuyong，CHEN Zhengqing，NI Yiqing，et al． Study of mitigating cables vibration on the cable- stayed bridges using magnetorheological MRdampers［J］ ．China Journal of Highway and Transport， 2003， 16 3 52- 56． ［3］ ZHOU Q，NIELSEN S R K，QU W L． Semi- active control of shallowcableswithmagnetorheologicaldampersunder harmonic axial support motion［J］ ．Journal of Sound and Vibration， 2008， 311 3/4/5 683- 706． ［4］ 梁栋，陈顺伟，孔丹丹， 等． 索梁动力耦合对非线性拉索 阻尼器减振效果的影响分析［J］ ． 工程力学，2012，29 9 237- 244． LIANG Dong， CHEN Shunwei， KONG Dandan， et al． Effects of coupling vibration between girder and cable on perance of nonlinear cable dampers for cable- stayed bridges［J］ ． Engineering Mechanics， 2012， 29 9 237- 244． ［5］ FUJINO Y，WARNITCHAI P，PACHECO B M．Active stiffness control of cable vibration［J］ ． Journal of Applied Mechanics，ASME． 1993， 60 4 948- 953． ［6］ WANG L Y，XU Y L． Active stiffness control of wind- rain- induced vibration of prototype stay cable［J］ ． International Journal for Numerical s in Engineering，2008，74 8 80- 100． ［7］ SUSUMPOW T，FUJINO Y．Active control of multimodal cable vibrations by axial support motion［J］ ．Journal of Engineering Mechanics，ASCE， 1995， 121 9 964- 972． ［8］ MAGANAME， VOLZP， MILLERT．Nonlinear decentralized control of a flexible cable- stayed beam structure ［ J］ ． Journal of Vibration and Acoustics，ASME，1997，119 4 523- 526． ［9］ 丛云跃， 康厚军， 郭铁丁， 等． CFRP 索斜拉桥面内自由振动 的多索梁模型及模态分析［ J］ ． 动力学与控制学报， 2017， 15 6 494- 504． CONG Yunfei，KANG Houjun，GUO Tieding，et al．A multiple cable- beam model and modal analysis on in- plane free vibration of cable stayed bridge with CFRP cables［J］ ． Journal of Dynamics and Control， 2017， 15 6 494- 504． ［ 10］ CHA Y J，AGRAWAL A K，DYKE S J． Time delay effects on large- scale MR damper based semi- active control strategies ［ J］ ． Smart Materials and Structures． 2013， 22 015011． ［ 11］ ABDEL- ROHMANM， JOHNMJ， HASSANMF． Compensation of time delay effect in semi- active controlled suspension bridges［J］ ．Journal of Vibration and Control， 2010， 16 10 1527- 1558． ［ 12］ L L F，WANG Y F，LIU X R，et al．Delay- induced dynamics of an axially moving string with direct time- delayed velocity feedback［ J］ ． Journal of Sound and Vibration， 2010， 329 26 5434- 5451． ［ 13］ 齐欢欢，徐鉴． 输液管道颤振失稳的时滞控制［ J］ ． 振动 工程学报， 2009， 22 6 576- 582． QI Huanhuan，XU Jian． Delayed feedback control for flutter in the pipe conveying fluid ［J］ ．Journal of Vibration Engineering， 2009， 22 6 576- 582． 下转第 107 页 58第 7 期彭剑等 索- 梁组合结构非线性时滞减振研究 ChaoXing study of characters of bubble impulsion induced by underwater explosions［J］ ．Journal of Harbin Engineering University， 2007， 28 4 365- 368． ［4］ 崔杰， 张阿漫， 郭君， 等． 舱段结构在气泡射流作用下的毁 伤效果［ J］ ． 爆炸与冲击， 2012， 32 4 355- 361． CUI Jie，ZHANG Aman，GUO Jun，et． al． Damage effect of cabin structure subjected to bubble jet［J］ ． Explosion and Shock Waves， 2012， 32 4 355- 361． ［5］ 张阿漫， 王诗平， 白兆宏， 等． 不同环境下气泡脉动特性实 验研究［ J］ ． 力学学报， 2011， 43 1 71- 83． ZHANG Aman， WANGShiping， BAIZhaohong， et． al Experimental study on bubble pulse features under different circumstances ［J］ ． ChineseJournalofTheoreticaland Applied Mechanics， 2011， 43 1 71- 83． ［6］ TURANGAN C K，ONG G P， KLASEBOER E， et al． Experimental and numerical study of transient bubble- elastic membrane interaction［ J］ ． Journal of Applied Physics， 2006， 100 054910． ［7］ CUI P，WANG Q X，WANG S P，et al． Experimental study on interaction and coalescenceofsynchronizedmultiple bubbles［ J］ ． Physics of Fluids， 2016， 28 012103． ［8］ 崔杰， 崔璞， 周塞北， 等． 减压条件下近自由面气泡运动与 水冢现象实验研究 ［J］ ． 振动与冲击， 2015， 34 19 37- 42． CUI Jie， CUI Pu，ZHOU Saibei，et al． Tests for bubble pulse features and bubble plume under hypobaric condition ［J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2015， 34 19 37- 42． ［9］ 田昭丽， 刘云龙， 高利峰． 圆形舭部附近气泡与自由面非 线性耦合研究［ J］ ． 振动与冲击， 2016， 35 6 127- 131． TIAN Zhaoli， LIUYunlong， GAOLifeng．Interaction between the bubbles and the free surface near the round bilge ［J］ ．Journal of Vibration and Shock，2016，35 6 127- 131． ［ 10］ 王加夏， 宗智， 周力， 等． 水下爆炸气泡与浮体结构相互作 用的研究［ J］ ． 振动与冲击， 2016， 35 12 41- 49． WANG Jiaxia，ZONG Zhi，ZHOU Li，et． al． The interaction of underwater explosion bubble dynamics and a floating structure ［J］ ．Journal of Vibration and Shock，2016， 35 12 41- 49． ［ 11］ 姜忠涛， 李烨， 庞学佳， 等． 近场水下爆炸气泡射流载荷冲 击船体外板的动响应分析［ J］ ． 振动与冲击， 2018， 37 9 214- 220． JIANG Zhongtao，LI Ye，PANG Xuejia，et． al．Dynamic response of hull plates subjected to near field underwater explosion bubble jet load ［J］ ．Journal of Vibration and Shock， 2018， 37 9 214- 220． ［ 12］ SHIMA A，TOMITA Y，GIBSON D，et al． The growth and collapse of cavitation bubbles near composite surfaces ［J］ ． Journal of Fluid Mechanics， 1989， 203 199- 214． ［ 13］ BRUJAN E A，NAHEN K，SCHMIDT P，et al． Dynamics of laser- induced cavitation bubbles near an elastic boundary ［ J］ ． Journal of Fluid Mechanics， 2001， 4