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液压伺服数学模型 2008年10月18日 星期六 1432 液压伺服数学模型 2.1 数学模型 为了对伺服系统进行定量研究，应找出系统中各变量（物理量）之间的关系。不但要搞清楚其静态关系，还要知道其动态特性，即各物理量随时间而变化的过程。描述这些变量之间关系的数学表达式称之为数学模型。 2.1.1 微分方程 伺服系统的动态行为可用各变量及其各阶导数所组成的微分方程来描述。当微分方程各阶导数为零时，则变成表示各变量间静态关系的代数方程。有了系统运动的微分方程就可知道系统各变量的静态和动态行为。该微分方程就是系统的数学模型。 2.1.2 拉氏变换与传递函数 拉氏变换全称为拉普拉斯变换。它是将时间域的原函数f（t）变换成复变量s域的象函数F（s），将时间域的微分方程变换成s域的代数方程。再通过代数运算求出变量为s的代数方程解。最后通过拉氏反变换得到变量为t的原函数的解。 数学上将时域原函数f（t）的拉氏变换定义为如下积分 而拉氏逆变换则记为 实际应用中并不需要对原函数逐一作积分运算，与查对数表相似，查拉氏变换表（表1）即可求得。 拉氏变换在解微分方程过程中有如下几个性质或定理 （1）线性性质 设 则有 式中 B任意常数。 （2）迭加原理 这一性质极为重要，它使我们可以不作拉氏逆变换就能预料系统的稳态行为。 （6）初值定理 微分方程表征了系统的动态特性，它在经过拉氏变换后生成了代数方程，仍然表征了系统的动态特性。 如果所有起始条件为零，设系统（或元件）输出yt的拉氏变换为Y（s）和输入x（t）的拉氏变换为X（s），则经过代数运算得 （1） G（s）为一个以s为变量的函数，我们称这个函数为系统（或元件）的传递函数。故系统（或元件）的动态特性也可用其传递函数来表示。传递函数是经典控制理论中一个重要的概念。 用常系数线性微分方程表示的系统（或元件），在初始条件为零的条件下，经拉氏变换后，微分方程中n阶的导数项相应地变换为sn项，而系数不变。即拉氏变换后所得代数方程为一系数与原微分方程相同，以sn代替n阶导数的多项式，移项后就是其传递函数。故一个系统（或元件）的传递函数极易求得。 表1 拉氏变换表（部分） 原函数ƒ（t） 拉氏变换函数F（s） 原函数图形（t≥0） 1 单位脉冲函数δ（t） 1 2 单位阶跃函数1t＞0 0t≤0 3 t 4 tn 5 6 （1-） 7 sinωt 8 cosωt 9 sin（ωtθ） 10 cos（ωtθ） 11 cosbt 12 13 14 15 sinhωt 16 coshωt 例 如图3所示为一个质量-弹性-油阻尼系统，该系统的力平衡微分方程为 （2） 式中 M质量； x质量的位移； BC阻尼系数； k弹簧刚度。 图3 质量-弹性-油阻尼系统 经拉氏变换得 （3） 写成传递函数为 （4）