天然气非线性复合渗流数学模型.pdf

东 北 石 油 大 学 学 报 J OuRNAL OF NORTHEAS T PETROLEUM UNI VERSI TY 第 3 9卷 第 4期 2 0 1 5年 8月 Vo 1 ．39 No ． 4 Aug ． 2 01 5 天然气 非线性复合渗流数 学模 型 张笑洋 ，王晓冬 ， 1 ．中国地质大学 北京能源学 院， j E 京 1 0 0 0 8 3 ； 实验室 ， 北京1 0 0 0 8 3 董文秀 ，王家航 ，王 磊 2 ．中国地质大学 北 京非常规天然气地质评价及 开发工程重点 摘要 在对油气井进行水 力压裂后产生 的有 限导流垂直 裂缝进行 研究时 ， 特 别是对 于泄流 面积 比较狭 长的储层 ， 可采用复合流动模型求解得 到接近 于实 际的近似结果． 利用演 绎一维 流动数学模 型， 考察 天然气渗流 的非线性 影响 ， 并 定义拟时间因子化简控制方程 ， 利用 L a p l a c e变换求得无量纲解 析解式 ， 联立 物质平衡方程后 分析拟 时间因子 的变化规 律及其对生产动态的影响． 进而利用 复合渗流模 型分析垂直裂缝 气井在定 流量和定 流压生产 的 2种典 型制度下 的动态 表现特征 ， 绘制相应 的不稳态压力及产量 曲线 ， 并采用商业模拟器 E c l i p s e 对该解析解进行模 型的对 比验证 ． 结果表明 天然气非线性渗流特点对拟稳态时期 的产量及压力特征有较大影响． 该研究结果有利于提 高对天然气渗 流规 律的认识 ， 为压裂气井的生产动态分析 提供一定 的理论参考． 关键词 非线性 ；天然气 ；复合流动模 型；渗流规律 中图分类号 T E 3 4 8 文献标识码 A 文章编号 2 0 9 5 4 1 0 7 2 0 1 5 0 40 0 7 9 0 9 0 引言 对油气 井 进行水 力压 裂产 生有 限导 流垂 直裂 缝 ， 已成 为 一种 常 态 的增 产 措施 ． 然 而 ， 有 限导 流垂 直 裂 缝所引起的不稳态渗流问题有些复杂 ， 通常需要求解地层流动和裂缝流动耦合的积分方程． 在某些情况 下 ， 采用分区简化的复合流动模型能够避免积分方程的出现 ， 得到一种近似结果 ， 特别对于泄流面积 比较 狭长的储层 ， 该模型更接近于实际． 在复合流动模型方面， F r a i m M L和 Wa t t e n b a v g e r R A等口 认 为致 密 气藏 中的生产 井经 过水力 压 裂后 ， 在很 长一 段 时间 内储层 中以一维 流动 为主 ， 并采 用一 维流 动模 型对气 井进行产量递减分析． C i n c o L H等 - 4 ] 提出双线性复合模型 ， 用 以分析垂直裂缝井 的早期流动特征． L e e w J ， L e e S T， A z a r i M 等 提 出 三线性 流模 型． B r o w n M 等 [ g 利用 三线 性 流模 型对致 密气及 页岩气 的 多 级压 裂水 平井进 行 动态分 析 ， 但忽 略系 统压力 对 气体压 缩 因子及 黏 度 的影 响 ． Me y e r B R等口 。 根 据 L e e w J等 提 出的 三 线性 流模 型 解 析 解 ， 结 合 拟 稳 态 电阻 率 模 型 ， 对 页 岩 气 进行 多级 压 裂 水 平 井 裂缝 优 化 ． B r o h i I 等 u 针对 致 密气 藏 和页 岩气 藏建 立 压 裂水 平 井双 孔 复合 三线 性 流数 学模 型． S t a l g o r o v a E 等[ 1 。卜 建立多级压裂水平井 三线性渗流模型 ， 并应用于对非常规油气藏的研究 ， 该模型也未考虑系统压 力对气藏参数的影响及其引起的求解结果 的误差． 我国对线性复合模型的研究有一定发展 ， 将线性复合模 型应 用 于对有 限导 流垂 直裂 缝直 井或 多级 压裂水 平 井 的研 究 _ 】 ， 但 均未 充分 考虑 天然气 非 线性 渗 流特 征 ， 其结果 必 然产 生一 定偏差 ． 首先 ， 笔者演绎一维流动数学模型， 在考察天然气渗流的非线性影 响， 通过定义拟时间因子化简控制 方程 ， 并利 用 L a p l a c e变换 求得无 量 纲解析 解式 ， 联 立物 质平衡 方 程分 析 拟时 间 因子 的变 化 规律 及其 对 生 产动态的影响． 其次 ， 根据一维流动模型的研究结果 ， 利用复合渗流模型分析垂直裂缝气井在定流量和定 流压生产的 2种典型制度下的动态表现特征， 绘制相应的不稳态压力及产量 曲线． 最后 ， 利用商业模拟器 E c l i p s e 对该 解析 解进 行模 型 的对 比验证 ． 1 一维 非线性不稳态渗流控制方程及其化简 在常规砂岩储层 中， 一般情形下天然气的等温压缩因子 比孔隙介质 的等温压缩 因子大一个数量级 以 收稿 日期 2 0 1 50 6 0 5 ； 编辑 关开澄 基金项 目 国家科技重大专项 2 0 1 1 Z X0 5 0 0 9 0 0 4 作者简 介 张笑洋 1 9 9 1 一 ， 女 ， 博士研究生 。 主要从 事油气 田开发方 面的研究． 79 东北石油大学学报 第 3 9卷2 0 1 5 年 上 ． 因此 ， 在 等温 条件下 ， 忽 略孑 L 隙介质 弹性 ， 联立 质量 守恒 方 程 和运 动 方程 ， 得 到 天然 气 的一 维 不稳 态 渗 流方 程为 3x[ Z 髦 ] 一 3 t Z ] ， ㈩ l 户 a z I 1 l’ 、 式 中 K 为介质渗透率 ； P为压力； 为天然气黏度 ； Z为偏差因子； t 为延续时间； z为横坐标 ； 为孔隙 度； S 为束缚水饱和度 为单位换算因数 a 一3 ． 6 2 4 1 0 ． 显 然 ， 由于 天然气 的黏 度 户 和 偏差 因子 Z p 是 系统 压 力 P 的非 线性 函数 ， 因此 式 1 是 非 线 性 的． 若定 义 拟压力 函数 ， 7々 P e j d p ， 2 式 中 i 与 分别为初始条件下 的天然气黏度和偏差因子； P 与 P i 分别为拟压力和原始地层压力． 其 中 ． 一- -t z 。 ， Z i Z p 。 ， 则 式 1 化 简为 3 2 P P 一 一 声 1～S 。 ／ z 乡 f 户a p P 3 式 中 为天然气压缩 因子． 在式 3 中， 由于右端 c 是系统压力 P的非线性 函数 ， 因此式 3 还是非线性方程． 若将 户 p 强 行 近似为 某 一 常数 ， 则 式 3 与对 应 的微 可压 缩 液 体 流 动 具 有 相 同 的形 式 “ 液 体 渗 流 模 式” ， 是一种 比较勉强的近似． 若定义 口 为拟时间因子 。 ， 即 』 出 ， 式 中 c 为 初始 条件下 的天然气 压缩 因子 ， c i 一 ， 则式 1 简化 为 一生 二 坌 妻 f 、 3 z a K 3 fi t ‘ 式 5 与“ 液体渗流模式” 形式相同， 虽然右端微分 中多了拟时间因子 fl t ， 但已能进行解析求解． 这里式 5 是式 1 的近 似简化 结果 __ 5 ] ． 2 一维流动产量递减分析 为 考察拟 时 间 因子 fl t 的变 化规 律及其 对产 量递 减规 律 的影响 ， 采用 Wa t t e n b a r g e r R A 一维 流动产 量递减解析模型进行计算和分析． Wa t t e n b a r g e r R A等_ 2 ] 认为 ， 许多致密气藏 中的生产井 ， 经过水力压裂 后 ， 在很长一段时间内储层中以一维流动为主， 可以采用一维流动模型进行生产数据分析． 一 维渗流物理模型见图 1 ． 其 中， 在厚度为 h 、 长度为 Y 、 宽为 z 的封闭地层 中， 其中心存在贯穿的、 半 长 为 z 的均匀 流量 垂直 裂缝 ， 即裂 缝长 度等 于地 层宽度 2 x 一-z ． 当垂 直裂 缝 以常 流 压 P 生 产 时 ， 引发 储层 产 生等温 不稳 定渗 流过 程． 定 义无 量纲 量 ， 即 P。 一 Pp P ， q D 一 q g t g i Bg i ， 一 ‰， 。 一 X f 。 一 Y e． 式 中 q 为 标 准状 况 下 井 的 产 量 ； B 。 一 P 。 Z Ti ／ P ． Z T 。 。 其 中， P 为标准 状 况压 力 0 ． 1 0 1 3 2 5 MP a ； T 。 为标 准 状 况 温 度 2 9 3 ． 1 5 K ； Z 为 标 准 状况 偏 差 因子 ； T 。 为储 层 温 度 ； Y为纵 坐标 ； Y 为 纵 向泄 流边 界 ； oT ， 为垂 直 裂 缝 半 长 ； a 。 、 a 为 单 位 换 算 因数 a 。 一 2 7 c 3 ． 6 2 41 0 一 ， a 一 3 ． 6 2 4 1 0一 ． 一 维不稳 态 渗流控 制方 程为 R 0 l ● L ． t x2xr r 1 图 1 一维渗流 物理模 型 Fi g．1 The p hy s i c a l mo de l o f one di me ns i o na l f l o w 第 4期 张笑洋等 天然气非线性复合渗流数学模型 一 3 p t ． 6 a D f ⋯ 定 解条 件 为 yD, O - O， l 。 0 ，】9￡。 一 l ， 曼 一 号 q 。 Ⅸ ． 利用 L a p l a c e 变换求解得 q 。 fl t D 一 e x p [ 一 2 ] ． ㈣ 分 析 式 8 表 明 ， 在 晚期 阶段 ， 有 q D 一 e x p 一 ， ≥ n 。 ． 在早 期 阶段 ， 有 q D fi t D f 一 ， p t D f ≤ 0 ． 1 ． 1 0 7 c Df 虽然得到无量纲解式 8 --1 0 ， 但进行实际产量计算 时， 需要确定拟时间因子 fl t 的变化规律． 参考 F r a i m M L等 的方 法 ， 对 于 卢 ￡ 取 近似 式为 fl t 一 』 出 ≈ 』 出 ， 1 式 中 P 为储层 平 均压力 ． 式 1 1 能够获得较高的准确性 ， 但在不稳定渗流过程 中， 储层平均压力 P 是随时间变化的， 可通过 联 立物 质平 衡方 程得 到． 常规 气藏 的物 质平衡 方程 为 Pa v g Z p一 Z p i『 一 G] ， 1 2 L J ’ 、 ⋯ 式中 G 为天然气累计产量 ， 可通过数值积分得到； G 。 为天然气地质储量． 对于 生产 过程 有 O ≤ 1 ， 若记 ri O 中的被积 函数 为 ￡ ， 即 一 [ J g i C g i ， 3 则 与 fl t 之 间 的关 系为 一 ㈤ 1 4 根据两者的定义， 联立式 1 1 和式 1 2 ， 计算得到 A 和 fl t 的变化曲线 见图 2 ． 图 2表明， 在初始阶段可 以忽略储层平均压力递减 ， ≈1 ． 0 ， ￡ ≈1 ． o ， 气体渗流行为近似于微可 压缩 液体 的渗 流行 为 ； 当渗 流进入 晚 期拟稳 态 阶段 时 ， 快 速递 减 ， 气 体渗 流行 为将 逐渐 偏离微 可压 缩液 体 的渗流 行为 ． 计算式 8 得到一维流动模型产量递减 曲线 见图 3 ． 图 3表明， 在后期渗流状态达到拟稳态阶段 时， 气体与微可压缩液体的产量 q递减趋势将出现较大差别． 当泄流边界大小相同时， 随着储层平均压力 P 的递减 ， 同一 时 间点 所对应 的气 体 产量 高于相 同条 件下 微 可压缩 液体 产量 ． 3 垂直裂缝气井产量递减 分析 对于中高渗砂岩储层 ， 如果储层有效泄流区域 比较狭长 ， 采用线性复合渗流模型描述不稳定渗流过程 较为合适， 可避免数值求解地层与裂缝耦合所形成的积分方程． 东北石油大学学报 第 3 9卷2 0 1 5年 t } d 图 2 参数 A 与fl t 的变化 曲线 F i g ． 2 C u r v e s o f A f a n d fl t v a l u e s t ／3 d 图 3 一维流动模 型产量递减 曲线 Fi g ．3 Pr o duc t i on de c l i ne c ur ve of on e di me ns iona l f l o w mode l 3 ． 1 非 线性 复合 流动 数学模 型 在均 质矩 形封 闭 气 藏 中心 存 在 一 口带 有 对 称 双 翼 的有 限导 流垂直 裂 缝 井 ， 裂 缝 垂 向完 全 穿 透 储 层 ， 即裂缝高度等于储层厚度； 常规天然气 由储层流人裂 缝 ， 再经 裂缝 流入井 筒 ； 井 以常流压 生产 ， 诱发 储层 产 生等温 渗 流 过 程． 坐 标 原 点 位 于储 层 左 下 角 见 图 4 ． 根 据关 于拟 时间 因子 卢 ￡ 的定 义 ， 地层 渗流 过程 I l I l _ ． ◆ - 毒； 0； 。 “ ．州 - _ 。 ■ 。 峥_ _尊 f f f f l l l I _ ■ __ ●一 j 一 一 ㈡ 蝉 一Ⅱ ■_ _■ ～ 一■ - 一 的 无 量 纲 控 制 方 程 为 一 ． ． 。 un d 性 f l o w m od e l f o r⋯ i raC tured w el l S 定 解 条 件 为 PD zD， D， 0 一 0； 1 6 巡 一0 ， 一 0； 一 o， 一 。 ． 1 8 按 照 图 4的分 区方 法 ， 在 区域 I和 Ⅱ中 ， 分别 记 P 。 一P I 。 和 P 。 一PⅡ 。 ， 式 1 5 可 以按 分 区简化 为一维 方程 ． 1 在 区域 I中 ， 地层 只 发生平 行 于裂缝壁 面 j ， 方 向 的线性 流动 ， 式 1 5 简 化为 2 pI D ． 1 9 a a p Df ‘ ⋯ 初始 条件 为 PI D zD， YD， 0一 0． 2 0 边界 条件 为 旦 一0 ． 2 1 分 区界面 条件 为 P I D z 。 ， 等 。 ， J8 。 t 一 P I1 D z 。 ， 十 。 ，卢 。 ， 2 2 。 等 一 。 学 t 2 3 一 一 ． 一 。 一 一 Ⅲ jE 【 H ⋯ U ， 第 4期 张笑洋等 天然气非线性复合渗流数学模型 积 分平 均 ， 将 其 简化 为垂直 于 裂缝壁 面 的线性 渗 流 ， 即 m J’ 8 Z p D 一 3 p H D ． e D 2 利 用式 2 2 和式 2 3 得到 y 8 y 一 fi t． a -z f D D a D f ‘ 初 始条 件 为 PⅡ D zD， YD， 0一 0 ． 2 5 边 界条 件为 业 丝 o ． 2 6 分 区界 面条 件为 。f 1 叫 D Y D fl 、 m 。 ， 。 f ， 2 7 1 二 三 1 l 一 』至 1 三 竺 圭 竺 ． 2 8 3 在裂缝中， 流体发生稳态渗流且具有对称性 ， 其无量纲控制方程为 c z Pf D 一 。， l StD -- 1 。 l 1 ～l 。 ～ 1 。 I 边 界条件 为 三1 。， 。 。 一 。 ， I 圭-r _ 一一 ， 专 e。 、 1 ． 3 3 式 3 2 中 C f D 为 无量 纲裂缝 导 流能力 ． 考虑 到与 井 的整个 有效 泄流 面积 相 比 ， 裂 缝 宽 度 比较 小 ， 可 以在 裂 缝 内沿 方 向对 方 程取 积 分 平 均 积分 后 压力 函数仍 记 为 P 。 ， 即 毒 。 告 u 2 j’ - o ． J a ～。 a 再 利用 式 3 1 和式 2 8 ， 式 2 9 简 化为 圭 三 竺 圭 竺 一 。 ． 。 4d y2D cf n azD ‘ 、 。 东北石油大学学报 第 3 9 卷2 0 1 5年 至1 d yD ～ 3 5 至1 一 一 ， 丢 一 ． c s 3 ． 2 模 型 求解及 计算 分析 在对式 1 9 3 7 j 行求解时 ， 利用 L a p l a c e变换 ， 求解井底定流量条件下裂缝中压力分布及定流压条 件 下 的井底 流量 ， 分别 为 一 二 ， 3 8 ‘ 未 4 D s i n h Y ’ 8 c fD fn ／ D s 。 c f i 酉 一 ． 39 c O S h f 。 一 专 一 m 酉 式 中 D 一 2 c s ／ ； c s 一 t a n h X eD -- 1 z 。 一 1 叫 。 ；B s 一 s l-- 巾- A s ； A 一 t a n h 。 ～ 1 ．， 。 一 巾 √ _ _ 若 生 产 井 位 于 矩 形 中 心 ， 且 坐 标 原 点 取 在 井 点 处 ， 。 一 1 ，则 井 壁 压 力 解 为 。 s 一 。， 一 1 1 ． 4 0 定流压条件下的井底流量为 ～ r一 一 s q D s 一 ／ D 5 t a n h ／ D s ． 4 1 丁 c 根据 式 1 1 及 定容气 藏 物 质 平 衡 方 程 式 1 2 ， 分 别 在 定 产 量 和 定 流 压 条件 下 确 定 每 个 时 间 步 骤 的 P 和 ， 进行 S t e h f e s t 数值反演后 ， 绘制利用三线性流模型求解的该气藏压力及产量随时间变化的曲线． 若不考虑天然气非线性渗流特点 ， 即忽略扩散系数随时间变化时 ， 一1 ， 可以得到液体模式的控制方程 ， 对 它进行 L a p l a c e变换后得到相应的液体模式解． 为了说明天然气非线性扩散的影响， 分别在定流量及定流压条件下绘制流压及产量特征曲线 见图 5 和 图 6 ， 并 将液 体模 式解 与气体 解析 解进 行对 比， 参 数见 表 1 ． 表 1气藏 基 本 参数 Tab l e 1 Ba s i c pa r a m e t e r s of t h e g a s r e s e r v o i r 由图 5和图 6可知 ， 在气藏生产中早期气体解析解与液体模式解的特征 曲线重合 ， 气体渗流行为近似 于微可压缩液体的渗流行为． 这是 由于对于液体 一 一1 ， 而在早期不稳态渗流条件下， 对于气体也存在 A ≈ 1 ． 在早 期储 层压 力递 减未 波及 至边界 前 ， 液 体模 式 解 与气 体 解 析解 曲线 拟合 较好 ， 储 层 压 力递 减 较 少 ， 不对 天然 气压缩 因子及黏 度产 生太 大影 响． 在 后期 压 力 降触及 边 界后 ， 即 当渗 流进 入 晚期 拟 稳 态 阶段 时 ， 两者 产生 较大 的差 别 ， 气 体渗 流行 为将逐 渐偏 离微 可压 缩液体 的渗 流行 为． 此 时 ， 随着气 藏 压力递 减 幅 度 的上 升 ， 天 然气性 质 发生较 大变 化 1 ， 而 微 可压 缩 液 体 在 拟稳 态 阶 段 仍保 持 固有 性 质 一 1 ． 对于考虑天然气非线性特征的气体解析解 见图 7 ， 在拟稳态时期 的压力下降及产量递减出现滞后 于 液体 模式 解 的现象 ， 即当泄流 边界 大小 相 同时 ， 同一时 间 点所 对应 的气体 解 的压 降要 低 于液 体模 式 解 的 ， 第 4期 张笑洋等 天然气非线性复合渗流数学模型 其 产量相 反 ． 为 了验证 对 天然 气 非 线 性 控 制 方 程 线 性 化 处 理 的正 确 性 ， 将 文 中所 得 气 体 解 析 解 与 数 值 模 拟 E c l i p s e 所 得结 果进 行对 比 见 图 8 ． 图 8表 明 ， 解 析解 与数值 解拟 合 良好 ， 可见 文 中所求考 虑 天然气 非线 性 扩 散 的解析 解可 以较 为严 格地 应用 于气 藏动 态分 析． t ／ d 图5 压 力降落 曲线 F i g ． 5 C o mp a r i s o n o f p r e s s u r e d r a wd o wn c u r v e s 图 7 压 力降落解析结果与数值解 Fi g ．7 Co m p a r i s o n of a n a l y t i c al a n d nu me r i c a l s o l u t i ons t o pr e s s ur e d r a wdo wn t { 5d 图 6 产量递减 曲线 Fi g ．6 Co mpa r i s on of pr o duc t i o n de c l i ne c ur ve s r ／5 d 图 8 产 量递 减解析结果与数值解 Fi g ．8 Comp a r i s o n o f a n al yt i c a l a nd nu me r i c a l s o l u t i o ns t o pr o duc t i o n d e c l i ne 4 结论 1 通过 演绎 一维 流动 数学 模 型 ， 考察 天然 气 渗流 的非 线性影 响 ， 并联 立物 质平衡 方 程 ， 计算 及 分析拟 时 间 因子 的变化规 律及 其对 生产 动态 的影 响． 2 在考 虑气 体渗 流过 程 中 ， 由于天 然气 的等 温压 缩 因子 及黏 度 等 参数 为 压力 的 函数 ， 在 对气 藏 进行 开 采过 程 中 ， 系统 压力 不 断递减 ， 天 然气 物性参 数 不断 发生 变化 ． 通过 定义 拟压 力及 拟时 间 因子 ， 化 简天然 气渗流控制方程 ， 从而得到可将其进行线性解析求解所需形式． 3 将一 维 流动模 型 的研究 结果 扩展 至对 有 限导 流垂 直 裂缝 井 的研 究 方 面 ， 利 用 复 合 渗流 模 型 ， 分析 垂直裂缝气井在定流量和定流压生产 的动态表现特征 ， 绘制不稳态压力及产量 曲线 ， 并利用数值模拟结果 对该解析结果进行对比验证． 在考虑天然气非线性渗流特点时， 尤其对具有封闭边界 的气藏 ， 在系统达到 拟 稳态 阶段 后 ， 不 可忽 略 天然气 渗 流 的非 线性 特征 对计 算结 果产 生 的影 响． 参考文献 Re f e r e n c e s [ 1 ] F r a i m M L ，Wa t t e n b a r g e r R A．Ga s r e s e r v o i r d e c l i n e c u r v e a n a l y s i s u s i n g t y p e c u r v e s wi t h r e a l g a s p s e u d o p r e s s u r e a n d p s e u d o t i me 85 东北石油大学学报 第 3 9 卷2 0 1 5年 [ J ] ．F o r ma t i o n E v a l u a t i o n ，S P E 1 4 2 3 8 ，1 9 8 7 ． [ 2 ] Wa t t e n b a r g e r R A，Ah me d H E 1 ，Ma u r i c i o E V，e t a 1 ．P r o d u c t i o n a n a l y s i s o f l i n e a r f l o w i n t o f r a c t u r e d t i g h t g a s we l l s[ c ] ．S P E 3 9 9 3 l，1 9 9 8 ． [ 3 ] C i n c o L H，S a ma n i e g o V F，D o mi n g u e z A N．Tr a n s i e n t p r e s s u r e b e h a v i o r f o r a we l l wi t h a f i n i t e c o n d u c t i v i t y v e r t i c a l f r a c t u r e[ c ] ． S PE 6 0 1 4，1 9 7 8 ． E 4 ] C i n c o L H，S a t n a n i e g o V F ．Tr a n s i e n t p r e s s u r e a n a l y s i s f o r f r a c t u r e d we l l s[ C ] ．S P E 7 4 9 0 ，1 9 8 1 ． [ 5 ] L e e W J ，Ho l d i t c h S A．Ap p l i c a t i o n o f p s e u d o t i me t o b u i l d u p t e s t a n a l y s i s o f l o w p e r me a b i l i t y g a s we l l s wi t h l o n g d u r a t i o n we l l b o r e s t o r a g e d i s t o r t i o n[ c ] ．S P E 9 8 8 8 ，1 9 8 2 ． [ 6 ] L e e S T， B r 0 c k e n b r o u g h J R．A n e w a p p r o x i ma t e a n a l y t i c s o l u t i o n f o r f i n i t e c o n d u c t i v i t y v e r t i c a l f r a c t u r e s _ J ] ．F o r ma t io n E v a l u a t i o n ， S PE 1 2 O 1 3，1 98 6 ． [ 7 ] Az a r i M，Wo o d e n W O，C o b l e L E ．A c o mp l e t e s e t o f L a p l a c e t r a n s f o r ms f o r f i n i t e c o n d u c t i v i t y v e r t i c a l f r a c t u r e s u n d e r h i l i n e a r a n d t r i l i n e a r f l o ws r C]．S PE 2 0 5 5 6 ，1 9 9 0 ． [ 8 ] Az a r i M， Wo o d e n W 0，C o b l e L E ．F u r t h e r i n v e s t i g a t i o n o n t h e a n a l y t i c s o l u t i o n f o r f i n i t e c o n d u c t i v i t y v e r t i c a l f r a c t u r e s[ c ] ．S P E 2 1 4 0 2，1 9 91 ． [ 9 ] B r o wn M， Oz k a n E， Ra g h a v a n R，e t a 1 ．P r a c t i c a l s o l u t i o n s f o r p r e s s u r e t r a n s i e n t r e s p o n s e s o f f r a c t u r e d h o r i z o n t a l we l l s i n u n c o n v e n t i o n a l r e s e r v o i r s r C ] ．S P E 1 2 5 0 4 3 ，2 0 0 9 ． [ 1 O ] Me y e r B R， B a z a n I M， J a c o t R H，e t a 1 ．Op t imi z a t i o n o f mu l t i p l e t r a n s v e r s e h y d r a u l i c f r a c t u r e s i n h o r i z o n t a l we l l b o r e s[ c ] ．S P E 1 3 1 7 3 3，2 01 0 ． [ 1 1 ] B r o h i I ， P o o l a d i D M， Ag u i l e r a R．Mo d e l i n g f r a c t u r e d h o r i z o n t a l we l l s a s d u a l p o r o s i t y c o mp o s i t e r e s e r v o i r s a p p l i c a t i o n t o t i g h t g a s ， s h a l e g a s a n d t i g h t o i l c a s e s[ c ] ．S P E 1 4 4 0 5 7 ，2 0 1 1 ． [ 1 2 ] S t a l g o r o v a E，Ma t t a r L ．P r a c t i c a l a n a l y t i c a l mo d e l t o s i mu l a t e p r o d u c t i o n o f h o r i z o n t a l we l l s wi t h b r a n c h f r a c t u r e s[ c ] ．S P E 1 6 2 5 1 5 ， 2 0 l 2 ． [ 1 3 ] S t a l g o r o v a E， Ma t t a r L ．An a l y t i c a l mo d e l f o r h i s t o r y ma t c h i n g a n d f o r e c a s t i n g p r o d u c t i o n i n mu l t i f r a c c o mp o s i t e s y s t e ms[ c ] ．S P E 1 6 2 5 1 6，2 0 1 2 ． [ 1 4 ] 程博 ， 刘常红 ， 翟云芳 ， 等． 定井底流压下有限导流垂直裂缝井 的理论模型[ J ] ． 大庆石油地质与开发 ， 2 0 0 3 ， 2 2 3 5 5 5 7 ． Ch e n g B o，Li u Ch a n g h o n g，Zh a i Yu n f a n g，e t a 1 ．Th e o r e t i c a l mo d e l f or a we l l wi t h a f ini t e - c o n d u c t i v i t y v e r t ic a l f r a c t u r e o n c on s t a n t b o t t o m h o l e p r e s s u r e[ J ] ．P e t r o l e u m G e o l o g y O i l f i e l d De v e l o p me n t i n D a q i n g ，2 0 0 3 ， 2 2 3 5 5 5 7 ． [ 1 5 ] 严涛 ， 贾永禄 ， 张秀华 ， 等． 考虑表皮和井筒存储效应 的有 限导流垂直裂缝井三线性流动模 型试井分 析[ J ] ． 油气井 测试 ， 2 0 0 4 ， 1 3 1 1 3 ． Ya n Ta o，J i a Yo n g l u，Zh a ng Xi u h u a，e t a 1 ．Tr i l i n e a r f l o w mo d e l t e s t a n a l y s i s o f f i n i t e c o n du c t i v i t y v e r t i c a l f r a c t u r e we l l s t a k i n g t h e e f f e c t s o f s k i n a n d we l l b o r e s t o r a g e i n t o c o n s i d e r a t i o n[ J ] ．We l l Te s t i n g， 2 0 0 4 ， 1 3 1 1 3 ． [ 1 6 ] 李爱芬 ， 刘照伟 ， 杨 勇． 双重介质 中有限导流垂直裂缝 井试井模型求解新方法[ J ] ． 水动力学研究与进展 ， 2 0 0 6 ， 2 1 2 2 1 7 2 2 2 ． Li Ai f e n，Li u Zh a o we i ，Ya n g Yo n g ． Ne w a p p r o a c h t o we l l t e s t i nt e r p r e t i o n mo d e l wi t h f i n i t e c o n d u c t i v i t y v e r t i c a l f r a c t u r e i n d o u b l e